‏معادلات‎ دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاربرد های مهمی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی مانند مکانیک سیالات‏، ترمودینامیک‏، انتقال گرما و فیزیک دارند. این معادلات اغلب غیرخطی هستند و یافتن جواب تحلیلی آن ها دشوار و در بعضی از موارد غیرممکن است‏ به همین دلیل در سال های اخیر تلاش های گسترده ای به منظور توسعه روش های تحلیلی و عددی برای حل این معادلات صورت گرفته است. در این پایان نامه ابتدا به معرفی معادله ساین گوردن به عنوان یک معادله ی غیرخطی و سالیتونی پرداخته سپس شرح مختصری از تاریخچه و پیدایش معادله را ذکر می کنیم. هم چنین دسته ای از جواب های این معادله را که جواب سالیتونی نام دارند‏، ‏بررسی می کنیم. در چند فصل از این پایان نامه به مطالعه ی این معادله و مقایسه ی بین جواب های بدست آمده برای آن با استفاده از چند روش تحلیلی مانند تداخلی هموتوپی‏، تحلیلی هموتوپی‏، تکرار تغییراتی‏، تجزیه آدومیان‏، تبدیل الزاکی هموتوپی و هموتوپی مجانبی بهینه پرداختیم. در پایان به روش های تفاضلات متناهی پرداخته و با استفاده از دو روش ftcs و ctcs به بررسی و یافتن جواب های عددی ‏معادله می پردازیم.