یک نوع از مسائل بهینه سازی‏، بهینه سازی در مسائل برنامه ریزی خطی تک هدفی ltrfootnote {‎single ‎objective ‎linear programming‎}‎‎است‏، برنامه ‎ ریزی خطی تک هدفی ‎ یکی از مهمترین تکنیک های تحقیق در عملیات ‎ltrfootnote {‎operational ‎resea‎rch‎}‎‎ است که برای حل بسیاری از مسائل دنیای حقیقی به کار می رود. با این حال در بسیاری از مسائل واقعی‏، مدل سازی کردن با یک تابع هدف به خوبی مفهوم مورد نظر را بیان نمی کند و تصمیم گیرنده اغلب با فاکتورهای متناقض زیادی روبرو است. جهت رفع این مشکل کان - تاکر ltrfootnote {‎kuhn . h.w.tucker .a.w‎‎}‎‎‎ در سال 1951 مسائل برنامه ریزی خطی چندهدفی ‎‎$‎(molp)‎$‎ ltrfootnote { ‎m‎ultiobjective linear programming‎}‎‎‎‎‎ را معرفی کرد. مسائل ‎‎$‎molp‎$‎ ‏، به طور هم زمان دو یا چند تابع هدف مختلف را بهینه می کند. در چنین مسائلی یک جواب بهینه کامل وجود ندارد بلکه در آن جواب های بهینه "پارتو" را به دست می آوریم. جواب های پارتو‏، مجموعه ای از جواب ها هستند که نسبت به هم برتری ندارند‏و در سال 1986‏‏، از نام یک اقتصاددان به نام "ویلفردو پارتو"گرفته شده است.‎‎ ‎پس از معرفی منطق "فازی" در سال 1965 توسط پروفسور لطفی عسگری زاده‏، مسائل تصمیم گیری در محیط فازی در سال 1970 توسط بلمن و زاده‎ ارائه شد. در سال 1978 توسط زیمرمن ‎ برای اولین بار مسئله ‎‎‎‎molp‎‎ قطعی‏، به روش فازی حل شد. در بسیاری از مسائ‎ل‎ ‎‎molp‎‎، ضرائب تو‎‎ابع هدف و محدودیت های ارائه شده به متخصصین‏، نادقیق و مبهم است‏. لذا در این نوع از مسائل مناسب تر آن است که این پارامترها توسط اعداد فازی نمایش داده شوند.‎‎ از سال 1978 تا سال 1993 توسط ساکاوا ‎‎‎ و استنلی ‎‎‎ و زیمرمن حالات مختلف مسئله فازی به طور کلی بحث شد. ‎مسائل‎ برنامه ریزی خطی چندهدفی فازی ‎ (‎fuzzy multiobjective linear programming‎) ‎‎‎(‎fmolp)‎ می تواند انواع مختلفی داشته باشد‏، حالتی که در آن تنها ضرایب توابع هدف با مقادیر فازی معرفی شده باشند‏، یا حالتی که در آن ضرایب تکنولوژیکی فازی باشند یا مقادیر سمت راست با اعداد فازی بیان شده باشند. در این رساله حالتی را در نظر می گیریم که در آن همه ضرایب توابع هدف‏، ضرایب تکنولوژیکی و مقادیر سمت راست‏، به صورت فازی نمایش داده شوند.‎‎ ‎روش های مختلف و زیادی برای حل مسائل چندهدفی وجود دارد که در این رساله به دو مورد پرداخته شده است‏. روش اول که به روش ژانگ ‎( ‎zhang‎)‎ ‎‎ معروف است و در آن همه توابع هدف‏، به طور هم زمان و همه جانبه مورد بررسی قرار می گیرد‎‎. روش دوم به روش قاسیمف ‎(‎ghasimov‎)‎‎ معروف است و درآن توابع هدف براساس اهمیتشان اولویت بندی و مرتب می شوند و در هر مرحله یک مسئله تک هدفی مورد بررسی قرار می گیرد و مقدار بهینه به دست ‎آمده در هر مرحله به عنوان محدودیت برای تابع هدف بعدی به کار برده می شود تا اولویت توابع محفوظ بماند.

فرض کنید ‎g‎ گراف دوبخشی مسطح باشد که دارای جورسازی های کامل است. یک گراف همبند، مقدماتی نامیده می شود اگر اجتماع همه جورسازی های کامل آن یک زیرگراف همبند را تشکیل دهد. در این رساله شرایط مختلف مقدماتی بودن گراف های دوبخشی را بیان می کنیم. فرض کنید ‎g‎ گراف جورسازی های کامل ‎g‎ است که رئوس آن متناظر با جورسازی های کامل ‎g‎ می باشند. در این جا بعضی از ویژگی های ‎m_g‎ مطالعه شده است. یکی از اهداف این رساله مطالعه شرایط لازم و کافی‏، برای این که دو جورسازی کامل از ‎g‎ متعلق به یک مولفه همبند از ‎m_g‎ باشند و همچنین بررسی شرط همبند بودن ‎m_g‎ است. در ادامه به معرفی چندسلولی ها می پردازیم. مشاهده می شود که در چندسلولی ها با جورسازی های کامل نیز می توان گراف ‎m_g‎ را به دست آورد، به این ترتیب که در ‎m_g‎ دو رأس مجاور هستند اگر تفاضل متقارن دو جورسازی کامل متناظر آن ها دقیقاً شامل یک دور باشد. همچنین به ویژگی همبندی گراف ‎m_g‎ در چندسلولی ها توجه شده است. ثابت می شود که همبندی گراف m_g در چندسلولی ها‏، به جز در دو مورد برابر با درجه مینیمم آن است. در پایان‏، به عنوان یک کاربرد به آجربندی چندسلولی ها می پردازیم.

مساله اصلی در این پایان نامه کمینه سازی برخورد شعاعی یک طرفه نامیده می شود که در آن رأس های گراف دوبخشی g روی دو دایره هم مرکز قرار می گیرند و موقعیت رأس ها در مدار بیرونی ثابت است. هدف ما کم کردن تقاطع بین یال ها با استفاده از تغییر موقعیت رأس های مدار داخلی است.

فرض کنید گراف g یک گراف ساده غیرجهت دار و متناهی باشد. انرژی گراف g به صورت مجموع قدرمطلق مقادیرویژه گراف g تعریف می شود. در این رساله به تعریف و بررسی انرژی لاپلاسین انرژی وقوع و شبه انرژی لاپلاسین ناوردای یک گراف می پردازیم. به علاوه چندین کران برای انرژی های مختلف از یک گراف از جمله گراف خطی را مطالعه می کنیم و بعضی روابط مربوط به گراف های هم انرژی از گراف های هم مرتبه و غیرهم طیف را مورد توجه قرار می دهیم.

گراف ها مدل های ریاضی کارآمدی برای تحلیل بسیاری از مسائل دنیای واقعی هستند. نظریه جبری گراف شاخه ای از ریاضیات است که گراف ها را با استفاده از خاصیت های جبری ماتریس ها ی وابسته به آن ها مورد مطالعه قرار می دهد. به صورت دقیق تر‏، نظریه طیفی گراف به مطالعه روابط بین ویژگی های گراف و طیف ماتریس مجاورت و ماتریس لاپلاس آن می پردازد. نظریه‎ طیفی گراف کاربردهای بسیاری دارد. بنیان گذاران شرکت گوگل با محاسبه بردارویژه پرون-فروبنیوس گراف شبکه ای توانستند به ثروت هنگفتی دست پیدا کنند. کوچک ترین بردارویژه یک گراف اطلاعات مفیدی در خصوص عدد استقلال و عدد رنگی گراف به دست می دهد. یکی دیگر از کاربردهای نظریه طیفی گراف یافتن طرح بندی های مناسب برای ترسیم یک گراف است. در نانوتکنولوژی این نوع از ترسیم گراف برای تحلیل شکلی نانولوله ها مورد استفاده قرار می گیرد.‎‎‎‎ ‎در فصل 1 به تعریف نمادگذاری های موردنیاز پرداخته و برخی از مفاهیم اساسی نظریه گراف و جبرخطی را یادآوری می کنیم. در فصل 2 نظریه طیفی را به شکل دقیق مورد بررسی قرار می دهیم و به برخی از نتایج نه چندان مشهور که پایه قسمتی از کار ما هستند‏، می پردازیم. در فصل 3 با ماتریس های مربوط به گراف و برخی از ویژگی های آن ها آشنا می شویم. این ماتریس ها برای تولید طرح بندی های طیفی بکار می روند. در فصل 4 توصیف طرح بندی های طیفی مختلف را با توصیف طرح بندی لاپلاسی آغاز می کنیم. برای دستیابی به یک ترسیم رضایت بخش‏، زمانی که تقارن کاهش می یابد‏، نیاز داریم که برخی تغییرات را بر روی طرح بندی لاپلاسی اعمال کنیم. در فصل 5 الگوریتم های مهمی که برای هر سه نوع ترسیم ارائه شده بکار می روند را مورد بررسی قرار می دهیم و یک پیاده سازی برای الگوریتم ترسیم طیفی گراف را در نرم افزار ‎‎‎‎maple به همراه نتایج اجرای آن ارائه می کنیم. در پایان فصل 5 به مسئله طرح بندی مسطح گراف می پردازیم و برای نخستین بار ضمن معرفی گراف های مسطح کمان دار با استفاده از برنامه های‎matlab‎‎ ‎ به چگونگی رفع مشکل ترسیم مسطح این گونه گراف ها می پردازیم. در فصل 6 کاربردهای طیف گراف برای تحلیل شکل نانولوله ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

گراف های t-تام چنگک آزاد رده مهمی از گراف ها را تشکیل می دهند. با استفاده از یک الگوریتم با زمان چند جمله ای می توان گراف های t-تام چنگک آزاد را تشخیص داد.