در این رساله با تمرکز بر کران های باتاچاریا و شیرساگار در برخی از خانواده توزیع های مهم از جمله خانواده نمایی طبیعی، گامای تعمیم یافته و بر، به مقایسه مقادیر آن ها با مقدار تقریبی واریانس برآوردگر به روش بوت استرپ پرداخته و در نهایت تعمیمی از کران های بارانکین و شیرساگار در حالت چند پارامتری را ارائه می دهیم. در فصل اول این رساله ضمن معرفی و بیان تاریخچه ای از کران های مختلف برای واریانس برآوردگرهای نااریب، به بیان ارتباط موجود بین آن ها می پردازیم. در فصل دوم با تمرکز بر کران باتاچاریای یک پارامتری، برخی از مهمترین ویژگی های آن را در خانواده توزیع های نمایی طبیعی با تابع واریانس درجه دو و درجه سه بیان کردیم و سپس با مقایسه کران باتاچاریای یک پارامتری با روش بوت استرپ نشان می دهیم که دقت کران های باتاچاریا به مراتب بیشتر از روش بوت استرپ می باشد. مقایسه کران های باتاچاریا، شیرساگار و روش بوت استرپ با یکدیگر و همچنین ارائه بسته های پیشنهادی برای استفاده از کران های شیرساگار یا باتاچاریا در شرایط مختلف در خانواده توزیع های نمایی طبیعی، گامای تعمیم یافته، بر نوع 12‎ و بر نوع 3‎ و بتای تعمیم یافته نوع دو در فصل سوم بیان شده است. در فصل چهارم نیز ضمن بیان نکاتی از کران های باتاچاریای چند پارامتری، به ارائه فرم ساده و قابل فهمی از آن پرداخته و سپس کاربردی از آن را در تقریب واریانس برآوردگر ‎umvu‎ پارامتر مدل های تنش-مقاومت یعنی و مقایسه آن با روش بوت استرپ ارائه خواهیم کرد. در نهایت کاربردی از کران بارانکین در مسائل نسبت سیگنال به اغتشاش و همچنین تعمیمی از کران های بارانکین و شیرساگار در حالت چند پارامتری و محاسبه و مقایسه آن با روش بوت استرپ در توزیع های لگ-نرمال و پارتو، در فصل پنجم آورده شده است.