برای گراف ‎g‎‎‏‏، تابع ‎‎‎‎c:v(g)‎→ n‎‎ را یک رنگ آمیزی مجاز گوییم هرگاه برای هر ‎‎ c(u)‎=‎ c(v)داشته یاشیم uv ϵ e(g) ‎‎‎‎‎‎ مجموع رنگی متناظر با رنگ آمیزی ‎ ‎‎‎c‎ ‎‏ را برابر با ‎ ∑u ϵ v(g)c(u)‎ ‎‏ تعریف می کنیم و مجموع رنگی ‎ ‎‎‎g‎ ‎‏، ‎ ‎∑(g)‎ ‎‎‏‏، را کمترین مقدار ممکن‏ برای مجموع رنگی‏، در میان همه ی رنگ آمیزی های مجاز ‎ g ‎‏ قرار می دهیم. همچنین کمترین تعداد رنگی که برای آن‏، می توان یک رنگ آمیزی‏، با مجموع رنگ یکسان با مجموع رنگی گراف ‎ ‎‎‎g‎ ‎‏ پیدا کرد‏ را قدرت رأسی‎ ‎‎‎g ‎‎‎ ‎‎‏‏، s(g)‎ می نامیم. در این پایان نامه‏‏، ‎‎‎در فصل اوّل با مرور بر تحقیقات گذشته‏، با روند ایجاد مسأله ی مجموع رنگی و بسط و گسترش این مفهوم آشنا خواهیم شد و گستره ی آن را در علومی نظیر مهندسی و الکترونیک‏، با بیان کاربردی از مسأله ی «مجموع رنگی» که به مسأله ی «طراحی ‎ vlsi‎ ‎‎‏» معروف است، نشان خواهیم داد.‎همچنین در فصل دوم مروری بر تعاریف اساسی و قضایای کلی مورد استفاده در فصل های آینده خواهیم داشت.‎‎ مفاهیم رنگ آمیزی مینیمال، مجموع رنگی و قدرت رأسی گراف را در فصل سوم بیان‏، و به بررسی کران هایی برای این مفاهیم خواهیم پرداخت.‎و در نهایت در فصل چهارم با استفاده از مفهوم همریختی گراف ها‏‏، به ذکر کران هایی برای مجموع رنگی می پردازیم و فصل را با بیان ‏دو الگوریتم‏، جهت محاسبه ی تقریبی از مقادیر مجموع رنگی و قدرت رأسی‏، به پایان خواهیم رساند.