سیستم عصبی انسان متشکل از میلیاردها سلول عصبی (نورون) و به علاوه سلول های پشتیبانی کننده (نوروگلیا) می باشد. شناخت این سلول های عصبی حائز اهمیت است، چون آنها بی تردید رازهای نحوه ی کار مغز و ماهیت هوشیاری آدمی را در خود پنهان دارند. نورون ها قادر هستند به محرک ها (مانند لامسه، صدا، نور و ...) پاسخ دهند، امپالس ها یا تکانه های عصبی را هدایت کنند وبا یکدیگر و همچنین با سایر نورون ها ارتباط برقرار کنند. بیان مدل ریاضی نورون و تحلیل پدیده های مشاهده شده در آن، مانند پتانسیل عمل، رگبار و ... با استفاده از مفاهیم و ابزار سیستم های دینامیکی مانند نظریه انشعاب، تعادل و ...، در علوم اعصاب از مهمترین اهداف ریاضیدانان بوده است. در این پایان نامه مکانیسم انشعاب در تولید پتانسیل عمل توسط نورون ها بررسی می شود. هدف ما نشان دادن این است که چگونه نوع انشعاب، ویژگی های محاسباتی سلول های عصبی، مانند پتانسیل عمل و رده تحریک پذیری و رگبار را تعیین می کند. همچنین پدیده رگبار عصبی را توصیف می کنیم و با استفاده از نظریه انشعاب هندسی به گسترش دسته بندی های موجود از رگبار، از جمله رگبار دو چنبره در یک سیستم ابرآشوبناک می پردازیم.

تا چند دهه ی پیش، ریاضی نقش مهمی در علوم زیستی نداشت اما امروزه، یکی از ابزارهای مهم که در خدمت پژوهشگران علم زیست شناسی می باشد، مباحث و قوانین ریاضیات و به طور خاص، سیستم های دینامیکی است.در تحقیق پیش رو، ابتدا یک فرم کانونی را برای سیستم دینامیکی متناظر با شبکه ای متشکل از دو نوسانگر نورونی با اتصال آرام به دست آورده و سپس نتایج را به شبکه ای ‎n نوسانگری،‎ n>=2 ‎، تعمیم می دهیم. در پایان نیز به بررسی پدیده ی همزمانی در شکل خاصی از شبکه های نورونی می پردازیم.

سیستم عصبی انسان متشکل از میلیاردها سلول عصبی (نورون)می باشدکه کوچکترین واحد از سیستم بسیار پیچیده مغز راتشکیل می دهد.تشخیص عملکرد و بسیاری از بیماری های مربوط به مغز با ببرسی نورون های عصبی میسر می شود. برای این منظور نیاز به ابزاری کارآمد داریم. علوم ریاضی از جمله سیستم های دینامیکی با ارائه روش هایی دقیق به ما در بررسی بسیاری از پدیده های موجود در طبیعت کمک می کند.با استفاده ارز روش های محاسباتی ونظریه های موجود مانند انشعاب، نقطه تعادلی، مدارهای متناوب، مدارهای شبه متناوب و آشوب به بررسی این پدیده ها می پردازیم.آشوب پدیده ایست که تقریبا همه جا اتفاق می افتد و برا یآن تعاریف متفاوتی وجود دارد اما تعریف یکه همگان بر آن اتفاق نظر دارند این است که در سیستم هایی که نسبت به شرایط اولیه بسیار حسایس است آشوب اتفاق می افتد.این پدیده در نورون ها نیز اتفاق می افتد. که در این پایان نامه ما به بررسی آن در شبکه ای از نورون های موریس لکار میپردازیم.

این پایان نامه به مطالعه ی نامساوی ریمان-پنروز با استفاده از مفاهیمی همچون انحنای میانگین، جرم هاوکینگ، منیفلدهای تخت مجانبی و . . . می پردازد. سپس در ادامه مقدمات هندسی و فیزیکی مورد نیاز را ارائه می دهیم که شامل انحناهای اسکالر، میانگین و گاوسی است و فرم های بنیادی اول و دوم را معرفی کرده و مثال هایی را بررسی می کنیم و در بخش مقدمات فیزیکی به تعریف تانسور تکانه-انرژی، معادلات اینشتین و نحوه ی بدست آوردن آن، معرفی جرم کل و منیفلد های تخت مجانبی، و به محاسبه ی انحنای اسکالر ،جرم کل و جرم هاوکینگبرای فضا- زمان های مختلف می پردازیم .سپس معادلات تحولی در هندسه را بررسی کرده و آنها را بدست می آوریم که شامل معادلات تحولی متریک، انحنای میانگین، انحنای گاوسی و فرم بنیادی می باشد و در آخر مقدمه ای بر اثبات نامساوی ریمان-پنروز با استفاده از معکوس شار انحنای میانگین و معادلات تحولی را بحث می کنیم.