در این پایان‏ نامه در فصل اول نمادها‏، تعاریف و مفاهیم مقدماتی را بیان می کنیم. در فصل دوم ابتدا حلقه های ‎ f ‎‎‎‎‎‎ ـ تمیز ‏را تعریف می کنیم و سپس به بررسی خواص حلقه های ‎‎ f‎‎ ـ تمیز می پردازیم و شرایطی که تحت آن حلقه موریتاکانتکست ‎ ‎t‎‎ یک حلقه ‎ ‎ f ‎‎‎‎ـ تمیز باشد را بیان می‏ کنیم و همچنین نشان می دهیم اگر حلقه ‏‎‎ r ‎‎‎‎‎‎ یک حلقه f ‎‎‎‎‎‎ ـ تمیز باشد‏، آن گاه برای هرn بزرگتر از یک ‎‎‎‎‎‎‏، (‏‎ ‎m‎_{n}(r نیز ‎ f ‎‎‎‎ ‎‎‎‎‎ـ تمیز است. در ادامه به معرفی حلقه هایی‎‎ که شامل تعدادی عنصر کامل هستند ‏می پردازیمو همچنین نشان می دهیم که اگر حلقه ‎ r ‎‎ شامل تعدادی عنصر کامل باشد‏، آن گاه ‎‎ ‏‎‎‎ ‎m‎_{n}(r) ‎ نیز چنین است. ‎ در فصل سوم ‏به معرفی حلقه های تمیز می پردازیم و مثال هایی از آن بیان می کنیم. همچنین معادل هایی برای حلقه تمیز ارائه می دهیم. در ادامه روش های دیگری که می توان ویژگی های حلقه های تمیز را بررسی نمود‏، ارائه می دهیم. در آخرحلقه های تمیز یکتا را معرفی می کنیم و قضایا و گزاره هایی در این مورد بیان می کنیم.