این پایان نامه، مشتمل بر 3 فصل است. در فصل اول تعاریف مقدماتی و قضایای پایه ای را بیان می کنیم. سپس در فصل دوم عدد احاطه ای ضعیفاً همبند و در فصل سوم عدد زیرتقسیم احاطه ای ضعیفاً همبند را بررسی نموده و کران هایی برای آن ها ارائه می کنیم. همچنین مقدار دقیق این پارامتر ها را برای برخی از گراف ها بدست می آوریم. فرض کنید g یک گراف با مجموعه رأس های (v(g و مجموعه یال های (e(g باشد. زیر مجموعه s از رأس های g، یک مجموعه احاطه گر برای g نامیده می شود هرگاه هر رأس در v(g) – s با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. مینیمم کاردینالیتی در بین تمام مجموعه های احاطه گر گراف g را عدد احاطه ای آن می نامند. زیرمجموعه s از رأس های g، یک مجموعه احاطه گر همبند برای g نامیده می شود هرگاه هر رأس در v(g) – s با حداقل یک رأس از s مجاور بوده و زیرگراف القایی [g[s همبند باشد. مینیمم کاردینالیتی در بین تمام مجموعه های احاطه گر همبند گراف g را عدد احاطه ای همبند آن می نامند. فرض کنید (‎g=(v,e, یک گراف همبند بوده و s زیر مجموعه v. زیرگراف ضعیفاً القا شده توسط s، گراف ?s?w = (n[s] , e ? (s×n[s])). است. مجموعه s از g یک مجموعه احاطه گر ضعیفاً همبند است اگر s احاطه گر و ?s?w همبند باشد. عدد احاطه ای ضعیفاً همبند از g، مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر ضعیفاً همبند از g است. فرض کنید g یک گراف و µ(g) یک پارامتر از آن باشد. هنگامی که از نظریه گراف، در شبکه های مختلف استفاده می شود، چون شبکه پویاست و احتمال تغییرات لحظه ای وجود دارد، لذا مطالعه تأثیر تغییرات مختلف شبکه بر روی پارامتر (µ(g حائز اهمیت است. تأثیر حذف رأسی از گراف یا با حذف یالی از آن و یا افزودن یالی به آن بر روی عدد احاطه ای، به طور گسترده مطالعه شده اند. زیرتقسیم xy عبارت است از اینکه این یال را حذف و رأس جدید z همراه با دو یال جدید xz و zy را به گراف بیافزاییم. واضح است که زیرتقسیم یک یال از گراف، عدد احاطه ای آن را کاهش نمی دهد. مینیمم تعداد یال هایی از گراف g را که با زیرتقسیم آن ها عدد احاطه ای افزایش یابد را عدد زیرتقسیم احاطه ای نامند. عدد زیرتقسیم احاطه ای ضعیفاً همبند از گراف همبند g، مینیمم تعداد یال هایی است مه به منظور افزایش عدد احاطه ای ضعیفاً همبند باید تقسیم شود. چون با زیرتقسیم تنها یال گراف k2 عدد احاطه ای ضعیفاً همبند، گراف هایی را در نظر می گیریم که مرتبه آن ها حداقل 3 باشد.

مجموعه d از راسهادر یک گراف g ،مجموعه احاطه گر است اگر هر راس ازg که درd نباشد با حداقل یک راس ازd مجاور باشد.می نیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر در g،عدد احاطه ای gنامیده می شود. عدد بانداژاز گراف ناتهی g،کمترین تعداد یالهایی از eاست بطوریکه عدد احاطهای g-e از عدد احاطه ای g بزرگتر باشد.

فرض کنید g = (v,e) گراف?بامجموعهرئوس v و مجموعه یال های e باشد و d = (v,a) یک گراف جهت دار بامجموعهرئوس v و مجموعه یال های a باشد.عدد احاطه ای خروجی یک گراف جهت دار d = (v,a) مینیمم اندازه یک زیرمجموعه s از v است، بطوریکه هر رأس در v-s همسایگی خروجی بعضی از رئوس در s باشد.عدد احاطه ای ورودی به طور مشابه تعریف می شود. اگر به ازای هر رأس v ?v?s ، رئوس u1, u2 ? s موجود باشند(ممکن است u1 و u2 بر هم منطبق باشند)بطوریکه v,u1),(u2,v) ? a(d))، آنگاه s یک مجموعه احاطه گر دوقلو در d نامیده می شود. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر دوقلو در d را عدد احاطه ای دوقلوی d نامیده و با ?^* (d) k نشان می دهند. برای گراف g، عدد احاطه ای دوقلوی جهت پذیر بالایی، ?dom?^* (g)، بیشترین مقدار عدد احاطه ای دوقلو است که روی تمامی جهت دهی های d از g گرفته می شود و عدد احاطه ای دوقلوی جهت پذیر پایینی، ?dom?^* (g)، کمترین مقدار عدد احاطه ای دوقلو است که روی تمامی جهت دهی های d از g گرفته می شود. در این پایان نامه ضمن مطالعه مجموعه های احاطه گر دوقلو و عدد احاطه ای دوقلو، چند کران مختلف برای عدد احاطه ای دوقلو در یک گراف جهت دار بدست می آوریم و به بررسی کرانهایی برای ?dom?^* (g)و ?dom?^* (g)خواهیم پرداخت.

فرض کنید g یک گراف باشد. عدد اخاطه ای k - محدود شده گراف g کوچکترین عدد صحیح r ( g ) است , بطوریکه برای هر زیر مجموعه u با k راس یک مجموعه احاطه گر در g از اندازه ی حداکثر r ( g ) شامل u موجود باشد. بنابراین عدد احاطه ای k- محدود شده یک گراف تعداد رئوس مورد نیاز برای احاطه گری است با این شرط که مجموعه احاطه گر شامل k راس دلخواه باشد.

فرض کنید (g=(v,e گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یال های e باشد. مجموعه d از رئوس گراف g، یک مجموعه احاطه گر است، هرگاه هر عضو v-d با رأسی از d، مجاور باشد. می نیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر را عدد احاطه ای g گویند و با نماد (γ(g نشان می دهند. مجموعه d از رئوس گراف g، یک مجموعه مستقل است، هرگاه هیچ دو رأسی از d، در g مجاور نباشد. ماکسیمم اندازه یک مجموعه مستقل را عدد استقلال g گویند و با نماد γ(g نشان می دهند. مجموعه d از رئوس گراف g، یک مجموعه احاطه گر مستقل است، هرگاه d هم احاطه گر و هم مستقل باشد. می نیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر مستقل را عدد احاطه ای مستقل g گویند و با نماد (i(g نشان می دهند. در این پایان نامه، کران هایی برای (i(g پیدا کرده و گراف هایی را که این کران ها را اختیار می کنند، دسته بندی می کنیم و نیز یک کران بالا برای حاصلجمع ( i(g)+i(¯g و حاصلضرب (i(g).i(¯g ارائه می کنیم.