پیشنهاد یک توصیف نظری برای مشاهدات تجربی زمینه و اساس را برای فرمول بندی پدیده های فیزیکی مهیا می کند. البته فیزیکدان ها با بکارگیری مدل های نظری مختلف رفتارهای پدیده های فیزیکی را توصیف می کنند که توسعه فیزیک در دو قرن گذشته نتیجه این نظریه ها بوده است. بین رویکرد های نظری مختلف، آمار کسری و q–دگرگون، از روش های موثری محسوب می شوند که برای توصیف پدیده های فیزیکی در برخی از شاخه های مختلف فیزیک مانند فیزیک حالت جامد، فیزیک ذرات بنیادی و غیره به کار می روند. در این پایان نامه ما بر روی بستگی دمایی ظرفیت گرمایی ویژه برخی از مواد فلزی مانند: sc, br, ga و k متمرکز شده ایم و برخی خواص ترمودینامیکی آنها را در چارچوب جبر q–دگرگون مورد بررسی قرار داده ایم. در حالت حجیم، ظرفیت گرمایی مواد، فقط بستگی به دما دارد. اما، ظرفیت گرمایی مواد نانو ساختاری با مواد حجیم، به دلیل اثرات سطحی و بزرگ شدن نسبت سطح به حجم، متفاوت است. با اعمال جبر q–دگرگون بر روی مدل دبای برای ظرفیت گرمایی ویژه برای مواد فلزی حجیم فوق الذکر و نانوساختار ها، ما تابع توزیع دگرگون شده ای را برای دماهای بالا و پایین دمای دبای معرفی کرده ایم. در مورد مواد مختلف، یک توافق کیفی بین تابع توزیع دگرگون شده حاضر و مقادیر تجربی وجود دارد. ما همچنین اثر بستگی نانو ذرات را به ظرفیت گرمایی ویژه نانوذرات نقره در اندازه های مختلف نانو متری مورد بررسی قرار داده ایم. نتایج توافق مناسبی با داده های تجربی دارد. نتایج تجربی نظری نظریه موج اسپین بر روی مدل تبادل هایزنبرگ در فرومغناطیس ها نیز نشان می دهد که نتایج با نتایج تجربی توافق کامل ندارد.

گذار¬های فاز کوانتومی در دمای صفرکلوین، نقش اساسی در سیستم¬ های بس ذره¬ای کوانتومی بازی می¬کنند. در فیزیک ماده چگال گذارهای فاز کوانتومی به افت و خیز¬های کوانتومی در دمای صفر دلالت دارند که بالطبع زمانی اتفاق می¬افتند که برخی پارامتر¬های خارجی یا ذاتی هامیلتونین به یک مقدار خاص به نام نقطه¬ی گذار برسند. به عبارت دیگر گذار¬های فاز کوانتومی به تغییرات بحرانی حالت پایه¬ی یک سیستم کوانتومی وابسته هستند که به خاطر تقاطع تراز در طیف انرژی آن در دماهای پایین رخ می¬دهند. به ویژه یک گذار فاز مرتبه¬ی اول، توسط ناپیوستگی معین در مشتق اول انرژی حالت پایه مشخص می¬شود. به طور مشابه یک گذار فاز مرتبه¬ی دوم (یا گذار فاز پیوسته) توسط یک طول همبستگی بینهایت و یک توان واپاشی همبستگی¬ها مشخص می¬شوند که اغلب توسط یک ناپیوستگی بینهایت (واگرایی) در مشتق مرتبه¬ی دوم انرژی حالت پایه بروز می¬کنند با این شرط که مشتق مرتبه¬ی اول پیوسته باشد. نتایج بسیاری نشان می¬دهند که در هم¬تنیدگی کوانتومی که خود نوعی همبستگی کوانتومی است، در زنجیر¬های اسپینی، وقتی که دما به نقطه صفر نزدیک می¬شود، به طور طبیعی ایجاد می¬شود. از این رو انتظار داریم سنجه¬هایی مانند آنتروپی فون نویمن که میزان درهم¬تنیدگی را مشخص می¬کند حاوی اطلاعاتی در مورد گذارهای فاز کوانتومی باشد.

در این پایان نامه ما تا حدودی توانستم، با معرفی آمار میانی با عنوان جبر $ qp $-دگرگون به این نتیجه برسیم به طوری که با استفاده از این جبر ظرفیت گرمایی مدل دبای $ qp $-دگرگون را محاسبه کردیم و سپس برای فلزاتی چون پتاسیم و روبیدیم در حد دماهای پایین ظرفیت گرمایی تجربی و ظرفیت گرمایی مدل دبای $ qp $-دگرگون آن ها را با هم مقایسه کردیم و دیدیم که مقادیر مربوط به ظرفیت گرمایی مدل دبای $ qp $-دگرگون نسبت به مقادیر ظرفیت گرمایی مدل دبای معمولی و ظرفیت گرمایی مدل دبای $ q $-دگرگون به مقادیر تجربی نزدیک تر است و هر چقدر دما بالاتر می رود از مقادیر تجربی دورتر می شود. در واقع با دو متغییر کردن پارامتر دگرگونش توانستیم تا حدودی به مقادیر تجربی نزدیک تر شویم.