در این پایان نامه به بحث در مورد فضاهای ریس، جبرهای ریس و fجبرها و بیان کوتاهی در مورد عمودریختی ها و سپس حاصل ضرب های آرنزی روی جبر های ریس و حلقه ها می پردازیم. همچنین نشان می دهیم که هر fجبر و fحلقه منظم آرنزی هستند. در ادامه به بیان نگاشت های دوخطی با تغییر کران دار مرتب و حاصل ضرب آرنزی روی آنها می پردازیم و اینکه اگر e,f,g فضاهای ریس ارشمیدسی باشند و p نگاشتی از حاصل ضرب e در f به g باشد به طوری که با تغییر کران دار مرتب و متقارن (یا پاد متقارن) باشد آنگاه الحاقی سوم آرنزی p تحت چه شرایطی می تواند این خصوصیات را به ارث ببرد. در قسمت آخر به رابطه دوگان بین دوریختی های ریس و نگاشت های دوخطی حافظ بازه می پردازیم