مسأله جریان با کمترین هزینه در شبکه هایی که دارای کران بالا و پایین ثابتی هستند به خوبی بررسی شده است. در این رساله مسأله جریان با کمترین هزینه روی شبکه هایی که کران پایین آن ها متغیر است‏، بررسی می شود. برای معرفی مسأله جریان با کمترین هزینه ابتدا مقدماتی از گراف ‏را بیان می کنیم. در این رساله هیچ برتری و تمایزی بین گراف و شبکه وجود ندارد به همین دلیل از اصطلاحات گراف و شبکه به عنوان اصطلاحات مترادف استفاده می شود. بعد از بیان مقدماتی از گراف و شبکه‏، مسأله جریان با کمترین هزینه را به همراه تعدادی دیگر از مسائل شبکه جریان مانند مسأله کوتاه ترین مسیر‏، مسأله بیشترین میزان جریان‏، مسأله تخصیص و مسأله حمل و نقل بیان می کنیم و سپس به معرفی تعدادی الگوریتم مانند الگوریتم حذف دور‏، الگوریتم کوتاه ترین مسیر و الگوریتم اولیه-دوگان که برای حل مسأله جریان با کمترین هزینه بکار برده می شوند‏، می پردازیم. در فصل سوم مدل مهمی از مسأله جریان با کمترین هزینه را بیان می کنیم که در آن همه یا تعدادی از کمان ها دارای کران پایین متغیر هستند. به طور خاص‏، یک کمان با کران پایین متغیر می تواند بسته (دارای جریان صفر) یا باز (دارای جریانی بین کران بالا و پایین) باشد. این ویژگی خاص باعث ایجاد یک مسأله ‎np-hard‎‏ به نام مسأله جریان با کمترین هزینه با کمان هایی با کران پایین متغیر می شود. مسأله جریان با کمترین هزینه با کمان هایی با کران پایین متغیر را به صورت مسأله برنامه ریزی خطی صحیح و ترکیباتی بیان می کنیم و از نرم افزارهای بهینه سازی ‏مانند نرم افزاری های ‏لینگو‎ و ‎‏سیپلکس‎ برای حل مسائل آن استفاده می کنیم. در فصل چهارم مسأله کمترین جریان را روی شبکه هایی که ظرفیت کران پایین کمان های آن بر حسب زمان تغییر می کند‏، بیان می کنیم. همچنین نشان می دهیم که برای نقاط زمانی‎ این مسأله را می توان به وسیله ترکیب روش بهینه سازی و الگوریتم ‏‎‎‏برگرداندن جریان اولیه حل کرد.