‏در‎ بخش نخست این پایان نامه‏، مدلی احتمالی را ارئه می دهیم که برای ساخت قاب پارسوال بهینه در شرایطی که هنگام ارسال ضرایب قاب پاک شدگی روی می دهد‏، مفید است. چنین قابی را مدل احتمالی قابهای بهینه برای پاک شدگی می نامیم. اگر مدل احتمالی قابهای بهینه برای یک و دو پاک شدگی موجود باشد‏، ساختن آن معمولا دشوار خواهد بود. در این پایان نامه همه قابهای بهینه برای یک و دو پاک شدگی را مشخص می کنیم و الگوریتمی برای ساخت این نوع قابها‏، ارائه خواهیم داد.‎‎‏‎ در بخشی دیگر‏، دو سوال در زمینه نظریه قابها را مطرح خواهیم کرد. از یک سو خانواده بردارهای ‎$‎‎mathcal{f}‎‎$‎‏ را درنظر گرفته و ساختار طیفی و هندسی از تتمیم های بهینه برای ‎$‎‎mathcal{f}‎‎$‎‏ را با استفاده از یک خانواده متناهی بردارها با نرم معین‏، تشریح خواهیم کرد. در این حالت بهینه بودن نسبت به احاطه سازی خواهد بود. به طور خلاصه این تتمیم های بهینه‏، کمینه توابع محدبی خواهد بود که این توابع شامل میانگین مجذورات خطا و پتانسیل قاب خواهد بود.از سوی دیگر‏، برای قاب ‎$‎‎mathcal{f}‎‎$‎‎‏‏، ساختار طیفی و هندسی قابهای بهینه ‎$‎‎mathcal{g}‎‎$‎‏ را تشریح خواهیم کرد که دوگان ‎$‎‎mathcal{f}‎‎$‎‏ هستند و نرم فروبنیوس عملگر تجزیه آنها از پایین کراندار است. در این حالت بهینه بودن با توجه به زیر احاطه سازی از عملگر قاب‏، تعیین خواهد شد. رویکرد ما در این پایان نامه‏، تشریح ساختار طیفی و هندسی ماتریسهایی که کمینه تحت زیر احاطه سازی روی مجموعه های متناظر با سوالات بالا باشند‏، خواهد بود.