در ابتدا به بررسی ضربگرهای روی حبر باناخ بدون ترتیب می ردازیم و خواصی از جبر ضربگرها را ثابت می کنیم. در ادامه با برقراری فرض (h) در جبر باناخ a-a:t با برد بسته به حاصل ضرب یک ضربگر خودتوان و یک ضربگر معکوس پذیر تجزیه می شود و کاربردهایی از قضایای عنوان شده مطرح می شود.

در این پایان نامه ابتدا وجود نقطه ثابت برای نگاشت غیر انبساطی بررسی و سپس برای تعیین نقطه ثابت از روش تقریب چسبندگی استفاده می گردد. در این روش الگوریتم تکرار معرفی و با استفاده از آن نحوه بدست آوردن نقطه ثابت مورد بحث قرار می گیرد . سپس با تعمیم این الگوریتم نقطه ثابت مشترک برای خانواده متناهی از نگاشتهای غیر انبساطی در فضای باناخ مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه با مطالعه رابطه درخت های متری و فضاهای ابر محدب، وجود نقطه ثابت مشترک برای هر خانواده جابجایی از نگاشت های غیر انبساطی در درخت های متری تان و به طور ژیودزیکی کراندار مورد بررسی قرار گرفته است. در ادامه با بیان اصل نگاشت های kkm و gkkm در درخت های متری، قضایای بهترین تقریب فان وپرولا برای نگاشت های نیم پیوسته بالا مورد مطالعه قرار گرفته اند. در پایان با اشاره به کاربرد درخت های متری در نظریه گراف، اثبات دیگری برای قضیه کلاسیک یال ثابت نواکوفسکی و رایول مطرح شده است.

در این پایان نامه، مفهوم فضاهای شبه متری و فضاهای شبه متری فازی و مسیله پیدا کردن تعریف مناسب از کامل بودن برای این فضاها مورد بررسی قرار گرفت. برای حل مسیله، اتدا تعریف مناسبی از دنباله کوشی در فضاهای شبه متری ارایه می گردد. سپس، با استفاده از این مطلب که یک فضای شبه متری، کامل است اگر هر دنباله کوشی در آن همگرا باشد به چگونگی ساختن یک کامل شده از فضای شبه متری پرداخته می شود. و در انتها این مفاهیم روی فضاهای شبه متری فازی تعمیم داده می شود.

در این پایان نامه ارتباط بین مشتقات سویی یک طرفه توابع نزدیکترین و دورترین فاصله تعمیم یافته و وجید نزدیکترین و دورترین نقاط نقاط تعمیم یافته مورد بررسی واقع شده است. نشان داده شده است که اگر این توابع، مشتقات سویی یک طرفه مساوی با1 یا 1- داشته یاشند، وجود نزدیکترین و دورترین نقاط تعمیم یافته نتیجه می شود و یک جواب جزیی به مسیله بازی که توسط فیتزپاتریک مطرح شده، داده شده است. همچنین ما مفهوم بهترین هم تقریب تعمیم یافته در یک فضای برداری توپولوژیک حقیقی با توپولوژیک حقیقی با توپولوژی حاصل از خانواده ای از تابعک های مینکوفسکی را مورد مطالعه قرار داده وقضایابی از بهترین تقریب و هم تقریب تعمیم یافته را به این فضا تعمیم می دهیم.

در این مطالعه مفهوم بهترین تقریب در فضاهای متریک و هیلبرت و مسئله پیدا کردن زوج بهترین تقریب برای دو مجموعه محدب و بسته در یک فضای هیلبرت بررسی شده است. این موضوع حوزه وسیعی از مسائل ریاضیات کاربردی و شاخه های مهندسی را در بر می گیرد. برای حل مسئله سه الگوریتم تکرار معرفی و رفتار این الگوریتم ها بررسی شده است. سپس با تعمیم مفهوم زوج بهترین تقریب برای تعداد متناهی مجموعه محدب و بسته الگوریتم هایبی برای حل آن ها پیشنهاد شده است.

در این پایان نامه که برپایه ی مقاله ای با همین نام از کردیو، جانسون و وایت است ثابت می شود که کوهمولوژی این جبر برای هر مرتبه ی دلخواه صفر است. در فصل اول که مبتنی بر تعریفات است به معرفی برخی مفاهیمی که در فصل های بعد به کار می آیند می پردازیم. در این فصل با جبرها و a-مدولهای باناخ، دنباله ی دقیق کانز-تزیگان، سادک ها و برخی مفاهیم دیگر آشنا می شویم. در فصل دوم با استفاده از قضایا مسئله را برای سادک ها مرد بررسی قرار می دهیم و سپس آنرا روی(l1(zانتقال می دهیم. در فصل سوم هموتوپی انقباضی را مورد بررسی قرار می دهیم که در اثبات های فصل چهارم به کار می آید و در فصل چهارم نتایج بدست آمده در فصل دوم را روی نیم گروهای دیگر r تعمیم می دهیم.

در این رساله با استفاده از پوش-انژکتیو هامانا (8،9) به توسیع نظریه شبه-ضربگرهای یک فضای عملگری می پردازیم و نشان می دهیم که ضرب های یک جبر عملگری، روی یک فضای عملگری با شبه-ضربگرها، القاء می شوند. در پایان تعمیمی از قضیه استون-باناخ را ارائه می کنیم.

در این پایان نامه، منظور از h یک فضای هیلبرت مختلط نامتناهی بعد و تفکیک پذیر است. همچنین، ( b(h جبر تمام عملگرهای خطی کراندار روی فضای هیلبرت h است. مطالب این پایان نامه به شرح زیر تنظیم گردیده است: در قسمت اول، گردایه عملگرهای m-ایزومتری در نظر گرفته شده است. می توان گفت که این عملگرها به نحوی تعمیمی از ایزومتری ها هستند. پس از مشاهده ی بعضی خواص ساده ی این عملگرها، همه ی عملگرهای تغییر جای موزون یک طرفه ی 3-ایزومتری که 2-ایزومتری نیستند، را بر حسب دنباله ی وزنهایشان مشخص می کنیم. یکی از جالب ترین نتایج ما، شناسایی رفتار مدار m-ایزومتری ها است. ثابت خواهیم کرد که مدار هر بردار تحت یک عملگر m-ایزومتری سرانجام صعودی است. این مطلب منجر به نتایج جالبی می شود که برخی از آن ها به شرح زیر می باشند: (1) هر عملگر m-ایزومتری و کراندار توانی یک ایزومتری است؛ (2) یک عملگر m-ایزومتری هیچ گاه زبر دوری نیست. ما همچنین موضوع ضعیف-ابردوری بودن این عملگرها را بررسی می کنیم و نشان خواهیم داد که هیچ m-ایزومتری ضعیف-ابردوری نیست. در قسمت دوم پایان نامه، به بررسی بازتابی بودن عملگرها می پردازیم. شعاع طیفی یک عملگر t با r(t) نمایش داده می شود. ابتدا بازتابی بودن یک عملگر درون نرمال t که طیف آن { z : | z| ? r(t) } است، را ثابت می کنیم. نتیجه ی دیگر، اثبات بازتابی بودن عملگرهای انقباضی است که طیف آن تمام قرص یکه بسته است. سپس اثبات ساده ای از یکی از نتایج foias و pearcy ارائه می دهیم؛ این نتیجه بیان می کند که هر عملگر تغییر جای موزون دو طرفه یا یک طرفه مانند t با این خاصیت که || t || = r(t)، بازتابی است. پس از آن، نشان خواهیم داد که همه ی توانهای نامنفی یک عملگر تغییر جای موزون یک طرفه که طیف نقطه ای عملگر الحاقی آن یک عنصر غیر صفر دارد، بازتابی هستند. علاوه بر این، همه ی توانهای صحیح یک عملگر تغییر جای موزون دو طرفه ی معکوس پذیر نیز بازتابی می باشند. در پایان، ثابت می کنیم که همه ی توانهای صحیح مثبت یک عملگر تغییر جای موزون یک طرفه که m-ایزومتری نیز می باشد، بازتابی هستند.

این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است: فصل اول، کلیات. فصل دوم: ساخت فضاهای متری توسط عملگرها. فصل سوم : تعریف متر بر فضای حالت یک ‏‎‎‏‏‎‎‏‏‎ -c‎‏جبر.

در این پایان نامه که مشتمل بر چهار فصل می باشد سعی بر این است مباحثی در مورد پایه ها در فضای هیلبرت و باناخ، قاب ها و ارتباط قاب ها و پایه های ریس مطرح شود. در فصل اول مقدماتی که شامل تعاریف و قضایای لازم است ، آورده شده است. در فصل دوم ابتدا تعریف پایه در فضای باناخ آورده شده است و پس از آن مطالبی در مورد پایه های هیلبرتی ، بسلی، ریس و شادر در فضای هیلبرت عنوان می شود. فصل سوم که در واقع مهمترین فصل این پایان نامه است باتعریف قاب و ذکر خواص آن شروع می شود و در ادامه ضمن بررسی ارتباط قاب ها با پایه های متعامد و پایه های ریس قضایایی در مورد قاب های فشرده نرمال عنوان می شود و در آخر مثالی از قاب فشرده نرمال ذکر شده است که شامل یک پایه شادر است ولی شامل هیچ پایه ریسی نیست. فصل چهارم که آخرین فصل می باشد با تعریف پایه شبه ریس شروع می شود و پس از آن به تحلیل قضایای اثبات شده در مورد آن می پردازد و اثبات می شود که می توان برخی شرایط ذکر شده را براحتی حذف نمود. در بخش آخر ضمن استفاده از برخی خواص فضاهای باناخ خاص و تعریف قاب ریس ، یک قضیه اثبات شده در این زمینه را تحلیل نمود.