رسته ای(کتگوری) از کلاف های برداری باناخ متکی را در نظر می گیریم و در مورد مفهوم نیمه افشانه ها بحث می کنیم. بر اساس مجموعه برش هایی از یک کلاف برداری باناخ متکی، یک براکت لی با خواصش به مفهوم جبرواره لی می شود. ثابت می کنیم جبرواره های لی تشکیل یک رسته(کتگوری) می دهد. یک ساختار دیراک روی یک خمینه باناخ m به صورت یک زیر کلاف از کلاف مماس بزرگ tm?t*m تعریف می شود که نسبت به متر طبیعی استاندارد مساوی متمم عمودش است و نسبت به براکت کورانت بسته است. اگر e یک جبرواره لی و*e دوگانش باشد، فرم دو خطی و متقارن را روی کلاف برداری *e?eتعریف می کنیم و می گوییم که زیر کلافی از این کلاف برداری یک ساختار دیراک ضعیف است، اگر مساوی با متمم عمودش باشد. هدف اصلی ما این است که هر ساختار دیراک که نسبت به نوعی براکت کورانت بسته می باشد با یک تکیه گاه(آنکر) طبیعی داده شده، یک جبرواره لی است.