فرض کنید t یک عملگر خطی کراندار روی یک فضای باناخ x باشد. مدار تحت t به صورت تعریف می شود و مدارهای ضعیف تحت t دنباله های بفرم هستند جایی که ما مروری از نتایج مربوط به مدارها و مدارهای ضعیف از عملگر t را ارائه می دهیم. نتایج عمیق و مسائل تئوری عملگرها ممکن است با استفاده از مفهوم مدارها فرمولبندی شوند. بعنوان مثال، عملگر t هیچ زیرفضای پایای غیر بدیهی ندارد اگر و فقط اگر مدار هر بردار غیر صفر x € کل فضا را پدید بیاورد . بطور مشابه t هیچ زیر مجموعه پایای بسته غیر بدیهی ندارد اگر و فقط اگر مدار هر چگال باشد. همچنین مفهوم مدارهای ضعیف دقیقا با مسئله زیر فضاهای پایا در ارتباط است. ایده اصلی تکنیک مشهور اسکات-براون ساخت یک مدار ضعیف با ویژگی های کاملا معین است. بسیاری از نتایج مربوط به مدارها و مدارهای ضعیف، معادلشان برای نیمه گروههای تک پارامتری از عملگرهای پیوسته برقرار است. مجموعه عملگرهای خطی کراندار که روی فضای باناخ xاثر می کند را با (x) l نشان می دهیم زیر مجموعه mاز xرا مانده نامیم هرگاه ..از رسته اول باشد. بوضوح یک مجموعه مانده است اگر و فقط اگر یک زیر مجموعه چگال بفرم gs باشد