در این پایان نامه، ‏گراف مقسوم علیه صفر ‎‏ حلقه ‎r‎‎‏ نسبت به ایده آل ‎ iرا مورد بررسی قرار می دهیم.‎ فرض کنید r‎ یک حلقه جابه جایی و ‎ i‎ یک ایده آل از ‎ r‎ باشد. گراف مقسوم علیه صفر ‏حلقه r نسبت به ایده‎‎ آل i‎ را با نماد(r) γ_i نمایش داده ‏و گرافی است که مجموعه راس های آن‏، مجموعه ‎ v (γ_i (r)) = { x ∈ r i | ∃ y ∈ r i s.t xy ∈ i } و دو راس مجزاء x وy مجاورند اگر و تنها اگر xy∈ i . در حالتی که i=<0> ، γ_0 (r) را باγ(r) نشان می دهیم که همان گراف مقسوم علیه صفرحلقه است که در نوشتههای دیگر آن را میشناسیم. در این پایان نامه رابطه بین γ_i (r)≅γ_j (s) و γ(r/i)≅γ(s/j) را توضیح می دهیم همچنین γ_i (r) را زمانی که گراف ‏ دو بخشی است مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها نتایجی از زیر گراف ها و برخی از پارامتر‎‎های گراف ‎‎‏γ_i (r) را بیان می کنیم.