در این رساله ابتدا به معرفی عملگر خودالحاق l می پردازیم که به صورت l =d/dx (p(x) d/dx) + r(x); lu + φ(x)u = 0. مشخص می شود، و مسئله مقدار ویژه lu + λp(x) = 0, x ∋ (a,b), (1) با شرایط مرزی مجزا α1u(a) + α2u′(a) = 0 |α1| + |α2 > 0, β1u(b) + β2u′(b) = 0 |β1| + |β2| > 0. را مسئله ی اشتورم - لیوویل نامیده و آن را به دو صورت منظم و منفرد مورد بررسی قرار می دهیم. ثابت می کنیم که اگر مقادیر ویژه از این معادله وجود داشته باشد، حقیقتی اند و توابع ویژه متناظر با هر مقدار ویژه ی حقیقی متعامدند. این مطلب را برای مسائل اشتورم - لیوویل کسری، که در آن از عملگرهای کسری استفاده شده تعمیم می دهیم. همچنین تبدیلات انتگرال متناهی را معرفی کرده و تبدیلات انتگرال متناهی اشتورم - لیوویل، فوریه، هنکل و لژاندر را مطرح می کنیم و معکوس آن ها را با استفاده از نظریه ی سری فوریه به دست می آوریم. لازم به ذکر است که این تبدیلات متناهی در حل مسائل مقدار مرزی بسیار مفید واقع می شوند.