نشان داده شده است که جواب روش های صریح و ضمنی تفاضل متناهی، نسبت به نرم یک شبکه ای در حل معادله های خطی هذلولوی، همگرا هستند. با کمک تکنیکی مشابه روش انرژی در بحث اثبات یکتایی جواب معادله های دیفرانسیل جزیی و با استفاده از تقریب مرتبه چهارم برای مقادیر تابع جواب در اولین گام زمانی برای معادله مرتبه دوم موج در فضای دو بعدی نشان داده خواهد شد که روش تفاضل متناهی صریح و روش ضمنی مسیر متناوب نسبت به نرم ماکزیمم نیز همگرا از مرتبه دو نسبت به طول گام های زمانی و مکانی هستند. با استفاده از بسط خطای مجانبی این روش ها در روند اثبات همگرایی آنها و با به کارگیری روش برون یابی ریچاردسون یک روند عددی بسیار کارآمد با مرتبه همگرایی چهار بر حسب نرم ماکزیمم با استفاده از جواب های روش صریح و ضمنی مسیر متناوب معرفی خواهد شد.