متناظر با هر زوج از اعداد صحیح مثبت ‎ $n‎$‎‎ و‎ $k‎‎geqslant2$ ‎ یک گراف جهت دار مکر‎ر ‎$ ‎gamma(n,k)‎ $‎‎ وجود دارد که مجموعه رئوس آن اعضای مجموعه $ h=‎lbrace0,1,‎‎ldots‎,n-1‎ brace‎‎‎ $ است به طوری که بین دو رأس‎‎ $ a $‎ و $ b $ در ‎$ h $‎ یک یال جهت دار وجود دارد هرگاه $ a‎^{k}‎equiv ‎b‎‏ ‎‎(‎operatorname{mod}:n) $. در ابتدا دو زیرگراف جهت دار $‎gamma‎_{1}‎‎(n,k)$ و $‎gamma‎_{2}‎‎(n,k)$ از $‎gamma‎‎(n,k)$ را معرفی می کنیم. فرض کنیم $‎gamma‎_{1}‎‎(n,k)$ شامل مجموعه رئوسی باشد که نسبت به ‎$ n $‎ اول اند و $‎gamma‎_{2}‎‎(n,k)$ مجموعه رئوسی که نسبت به ‎$ n $‎ اول نیستند. سپس شرایط منظم بودن و نیم منظم بودن زیرگراف های جهت دار را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به علاوه فرمول هایی برای تعداد مولفه ها و طول دور ها بیان می کنیم. در ادامه ضمن بیان دو شرط لازم و کافی برای مرکب بودن اعداد فرما‏، ساختار ‎$‎‎gamma‎‎(n,k)$ ‎ را توضیح می دهیم. در حالت خاص کران بالای طولانی ترین دور در $‎gamma‎_{1}‎‎(n,k)$ را معرفی می کنیم. در آخر گراف جهت دار $‎gamma‎‎(n,k)$ را به زیرگراف هایی به نام اجزای بنیادی افراز کرده و بیان می کنیم همه ی درخت های متصل به رئوس دوری در برخی از این اجزای بنیادی با هم یکریخت اند.