یکی از عوامل موثر بر پاسخ اعضای سازه ای وجود ترک در عضو است. ترک ممکن است در اثر عیب اولیه در مصالح ساخت، پدیده خستگی در بارهای متناوب و تمرکز تنش در اعضای سازه ای ایجاد شود. ترک با ایجاد انعطاف پذیری موضعی در عضو باعث کاهش فرکانس طبیعی و تغییر شکل مود ارتعاشی آن می شود. در این پایان نامه ابتدا معادلات حاکم بر رفتار عضوهای ترک خورده مثل پایداری، ارتعاش آزاد جانبی، ارتعاش برشی جانبی، ارتعاش آزاد محوری و ارتعاش آزاد پیچشی گسترش داده می شود. در تحلیل عضوهای ترک خورده به جای ترک از فنر معادل استفاده می شود. در فرهنگ علمی مکانیک ضرایب انعطاف پذیری فنر توسط محققین مختلف ارایه گردیده است. ضرایب ارایه شده یکسان نیستند. تفاوت ضرایب مختلف نوعی عدم قطعیت در محاسبات ایجاد می کند. در این پژوهش ضرایب انعطاف پذیری به صورت متغیر فازی تعریف گردید. با استفاده از ریاضیات فازی، عدم قطعیت حاصل در پاسخ اعضای ترک خورده مورد بررسی قرار گرفت. لحاظ کردن اثر ترک در ماتریس جرم و تعداد بسیار اندک المان های مورد نیاز در روش پیشنهادی این پایان نامه برای محاسبه مقادیر ویژه در مقایسه با ansys، باعث مقرون به صرفه بودن آن گردیده و نتایج بسیار خوبی را بر گرداند. در صورتی که درصد خطای حداقل20% قابل قبول باشد، تمام روابط پیشنهادی برای ضریب نرمی فنر پیچشی معادل توسط محققین مختلف مورد بررسی این پایان نامه، پاسخ نسبتا دقیقی (با درجه عضویت بالای 9/.) را بر می گردانند. برای نسبت عمق ترک های کوچک، بهترین پاسخ ها از رابطه پیشنهادی بیللو حاصل می گردد.