آنتروپی به عنوان یک معیار عدم قطعیت، در سال های اخیر مورد توجه محققین زیادی قرار گرفته است. هدف اصلی این پایان نامه بررسی آنتروپی داده های ترتیبی از جمله رکوردها، k-رکوردها و سانسورها می باشد. این مجموعه شامل 4 فصل می باشد که در زیر خلاصه ای از هر فصل آمده است. در فصل اول، برخی مفاهیم و نمادهای موجود در این پایان نامه از جمله روش نمونه گیری تکراری، آماره های مرتب، رکوردها، تحلیل بقا، سانسورها، ترتیب های تصادفی، آماره های k-رکوردی و همچنین مفوم آنتروپی را معرفی می کنیم. فصل دوم، شامل محاسبه آنتروپی در آماره های k-رکوردی بالا و سپس مشخصه سازی بر اساس آن خواهد بود. در فصل سوم، ابتدا به محاسبه آنتروپی در رکوردها اعم از رکوردهای بال و پایین بدون در نظر گرفتن زمان و با در نظر گرفتن زمان بین آنها می پردازیم. اگر رکوردها را از یک دنباله از مشاهدات استخراج کنیم تا زمانی که به یک تعداد مشخص از رکوردها دست یابیم به آن روش نمونه گیری معکوس می گویند. در برخی از موارد به جای اینکه رکوردها را از یک دنباله از مشاهدات به دست آوریم، نمونه گیری را در چند دنباله از مشاهدات انجام می دهیم، که به آن روش نمونه گیری تکراری به روش معکوس گوییم.در این فصل به مقایسه این دو روش نمونه گیری از دیدگاه میزان آنتروپی می پردازیم. در فصل چهارم، به مطالعه داده های سانسور شده ازدیدگاه میزان آنتروپی آنها می پردازیم و سانسورهای نوع دوم، هیبرید نوع اول وهیبرید نوع دوم را مورد توجه قرار می دهیم و در نهایت به ماکزیمم سازی بر اساس این داده ها می پردازیم.

در آزمون های طول عمر و مباحث تحلیل بقا یکی از سانسورهای معروف، سانسور فزاینده نوع دو می باشد، که با توجه به اهمیت کاربرد آن تحقیقات زیادی براساس آن انجام شده است. در این روش از سانسور به محض از کار افتادن یکی از مولفه ها، تعدادی از مولفه ها از آزمایش خارج می شوند. بر مبنای همین شیوه، طرح سانسور تعریف می شود که انتخاب طرح بهینه یکی از مسائل مهم است و معیارهای متفاوتی تاکنون از طرف پژوهش گران معرفی شده است . در این پایان نامه چند مورد از آنها به تفصیل مورد مطالعه قرار می گیرند. میزان اطلاع فیشر یکی از معیارهای مورد بررسی در این پایان نامه برای تعیین طرح بهینه می باشد. ابتدا نشان می دهیم که در خانواده ای از توزیع ها اطلاع فیشر در آماره های مرتب سانسور فزاینده نوع دو از طرح سانسور مستقل است. بنابراین در سایر توزیع ها به دنبال طرحی هستیم که اطلاع فیشر را ماکسیمم کند. برای این منظور، معیارهایی را بیان می کنیم و با کمک آنها به تعیین طرح بهینه می پردازیم. همچنین با استفاده از روش های عددی در بعضی از توزیع ها اطلاع فیشر در آماره های مرتب سانسور فزاینده نوع دو را محاسبه و طرح بهینه را بدست می آوریم. کمترین مربعات خطا، یکی دیگر از معیارهایی است که در این پایان نامه برای تعیین طرح بهینه مورد استفاده قرار می گیرد. ابتدا خانواده ای از توزیع ها دو پارامتری را معرفی می نماییم و طرح بهینه را در این خانواده از توزیع ها بر اسا س معیارفوق می یابیم. در حالت یک پارامتری واریانس متناظر با بهترین برآوردگرهای خطی نااریب به عنوان معیار بهینه سازی مورد استفاده قرار می گیرد. در حالت دو پارامتری اثر و دترمینان ماتریس کواریانس متناطر با بهترین برآوردگرهای خطی نااریب، برای تعیین طرح بهینه به کار گرفته می شوند.

در آزمونهای طول عمر و قابلیت اعتماد، روش های مختلف سانسور کردن نمونه ها جهت صرفه جویی در زمان و هزینه مطرح می شود. یکی از انواع سانسورها، سانسور پیش رونده نوع دو است که موضوع اصلی این پایان نامه نیز می باشد. در این پایان نامه، ابتدا حالتی را در نظر می گیریم که یک نمونه تصادفی مستقل و همتوزیع از جامعه مورد نظر داشته باشیم و در این حالت، به محاسبه اطلاع فیشر نهفته در داده های سانسور پیش رونده و برآورد بر اساس این داده ها در چند توزیع طول عمر معروف می پردازیم. سپس متغیرهای تصادفی مستقل اما غیرهمتوزیع را در نظر می گیریم و ترتیبهای تصادفی بر اساس آماره های مرتب سانسور پیش رونده نوع دو را در این حالت مورد بررسی قرار می دهیم و نتایج را برای مدل نرخ خطر متناسب مطالعه می کنیم. در ادامه، به منظور انجام استنباطهای آماری بر اساس این آماره ها، صورت جدیدی برای تابع درستنمایی پارامتر مورد مطالعه بدست می آوریم. بر اساس این تابع به بررسی مساله برآورد و محاسبه اطلاع فیشر می پردازیم و نتایج را برای مدل نرخ خطر متناسب با جزئیات ارائه می دهیم. به منظور تشریح نتایج بدست آمده، خانواده توزیعهای نمایی و توزیع وایبل را به کار می گیریم.

هنگامی که اندازه گیری واحدهای جامعه مشکل یا پرهزینه باشد، اما بتوان واحدهای جامعه را به سادگی و با کمترین هزینه رتبه بندی کرد، استفاده از نمونه گیری مجموعه ی رتبه دار باعث افزایش دقت و کارایی برآوردهای پارامترهای جامعه نسبت به نمونه گیری تصادفی ساده می شود. موضوع فوق انگیزه ای برای تدوین این پایان نامه شد، برای این منظور ابتدا به تعریف نمونه گیری مجموعه ی رتبه دار، تاریخچه ی آن و همچنین روش های متفاوت بدست آوردن آن پرداخته شده است. برآورد ناپارامتری میانگین و واریانس جامعه بر اساس یک نمونه ی مجموعه ی رتبه دار بدست آمده و با برآوردگرهای ناپارامتری متناظر حاصل از یک نمونه تصادفی ساده مقایسه شده است. در حالت پارامتری، اطلاع فیشر و برآورد ماکسیمم درست نمایی بر اساس نمونه ی مجموعه ی رتبه دار برای یک توزیع دلخواه و همچنین خانواده ی مکانی-مقیاسی بدست آمده و با مقادیر متناظر آنها در یک نمونه ی تصادفی ساده مقایسه شده اند. آماره های مرتب حاصل از یک نمونه ی مجموعه ی رتبه دار و همچنین ویژگی های توزیعی آن ها و نیز فاصله اطمینان برای چندک های جامعه بر اساس آن ها، مورد مطالعه قرار گرفت. در ادامه همچنین موضوع پیش بینی بر اساس نمونه ی مجموعه ی رتبه دار مورد بررسی قرار گرفت.

در محصولات با قابلیت اعتماد بالا بدست آوردن تعداد معقولی مشاهده جهت انجام استنباط آماری معمولاً کار ساده ای نیست. یکی از روش ها متداول در آزمون ها طول عمر، برای بدست آوردن مشاهدات در زمان مناسب، به کار بردن آن ها در شرایطی سخت تر از شرایط نرمال است. این روش ها را روش های آزمون شتاب داده شده طول عمر می گویند. در آزمون های شتاب داده شده طول عمر، مشاهدات خیلی سریع تر از حالتی که واحدها در شرایط نرمال مورد استفاده قرار می گیرند به دست می آیند و در نتیجه سبب کاهش ویژه در زمان آزمون طول عمر می شود. یک کلاس خاص این آزمون ها، آزمون های فشار- مرحله ای می باشند. از طرفی، توزیع های گسسته بطور گسترده در قابلیت اعتماد هنگامی که اندازه های طول عمر مقادیر گسسته ای از زمان هستند مورد نیاز می باشند. مشهورترین و پرکاربردترین توزیع طول عمر گسسته توزیع هندسی است. در این پایان نامه، استنباط آماری براساس روش کلاسیک و روش بیز برای داده های سانسور نوع یک، از توزیع طول عمر هندسی تحت آزمون فشار-مرحله ای ساده، انجام گرفته است. همچنین، برای تعیین زمان بهینه تغییر سطح فشار تحت سانسور نوع یک، چندین معیار معرفی شده است. در پایان، مدل آزمون فشار-مرحله ای تحت سانسور نوع دو برای داده های طول عمر هندسی بررسی شده است.

در مواردی که پارامتر مورد علاقه در یک استنباط آماری صورت پیچیده ای دارد و کمیت محوری کلاسیک برای آن وجود ندارد، می توان با استفاده از مفهوم کمیت محوری تعمیم یافته برای پارامتر مورد نظر فاصله اطمینان تعمیم یافته محاسبه نمود. در این پایان نامه ابتدا مفهوم فاصله اطمینان و متغیر آزمون تعمیم یافته ارائه می شود. سپس برای تابع لورنتس، تابع لورنتس تعمیم یافته و برای شاخص جینی تحت توزیع درامد لگ نرمال فاصله اطمینان تعمیم یافته معرفی می کنیم. علاوه بر این، به منظور مروری بر کارهای انجام شده به مطالعه ی فواصل اطمینان برای تابع قابلیت اعتماد و چندک های توزیع نمایی دو پارامتری بر اساس سانسور نوع دو می پردازیم. در ادامه این نتایج را تعمیم می دهیم و بر اساس سانسور فزاینده نوع دو برای پارامتر مکان، پارامتر مقیاس، چندک ها، تابع قابلیت اعتماد iامین آماره ترتیبی از نمونه ای به حجم n و مدل تنش و مقاومت آماره های ترتیبی از توزیع نمایی دو پارامتری فاصله اطمینان تعمیم یافته معرفی می نمائیم.

داده های پانلی به مجموعه ای از دادهها گفته می شود که براساس آن مشاهدات به وسیله تعداد زیادی از متغیرهای مقطعی، که با‎(n)‎ نشان داده می‎‎‎‎‎شوند و اغلب به صورت تصادفی انتخاب می‎‎شوند، در طول یک دورهی زمانی مشخص ‎(t)‎ مورد بررسی قرار گرفته باشند. این ‎ n*t ‎ داده ی آماری را داده های پانلی و یا داده های مقطعی – سری زمانی می نامند. ‎ اغلب مدل های اقتصادسنجی که در ‎اوایل‎ مورد استفاده قرار می‎‎گرفت، بر فرض مانایی سری های زمانی استوار بود. بعداً که مانایی اکثر سریهای زمانی رد شد، به کارگیری متغیرها منوط به انجام آزمونهای مانایی مربوط گردید. از طرفی به دلیل نگرانی از وجود روند تصادفی و رگرسیون کاذب میان متغیرها محققان قبل از برآورد، آزمون وجود ریشه‎ی‎ واحد را در متغیرها مورد بررسی قرار می‎‎‎دهند. پس قبل از برآورد مدل، برای اطمینان از ساختگی نبودن و در پی آن داشتن نتایج نامطمئن، لازم است از مانا بودن متغیرها اطمینان حاصل کنیم. ‎ آزمون ریشه‎‎ی‎ ‎‎واحد، یکی از معمول ترین آزمون هایی است که برای تشخیص‎ ‎‎مانایی فرایند‎ ‎‎مورد استفاده قرار می گیرد. اساس آزمون ریشه‎ی‎ واحد بر این منطق استوار است که وقتی ?=1 ‎ است، فرایند مانا نیست. ‎‎ در صورت مانا نبودن متغیرهای مدل، احتمال ایجاد رگرسیون ساختگی وجود دارد. برای اجتناب از وضعیت های رگرسیون ساختگی، آزمون همجمعی به عنوان یک پیش آزمون قابل استفاده است. به این ترتیب، تنها در شرایط همجمعی متغیرها میتوان به نتایج اعتماد کرد. پس بررسی وجود همجمعی ‎‎‎‎‎متغیرها در داده های پانلی اهمیت دارد. ‎ در این پایان نامه، به معرفی داده های پانلی و تعاریف اولیه در این ارتباط می پردازیم‎.‎ پس از آن توضیحاتی دربار‎ه‎‎‎ی مزیت های استفاده از این داده ها، انواع مدل های آن و آزمون های تشخیصی ارایه می‎‎‎‎‎کنیم. در ادامه به برخی از آزمون های ریشه ی واحد و آزمون های همجمعی در داده های پانلی و داده های سری زمانی و روش برآورد آن ها با استفاده از نرم افزار ‎r‎ می پردازیم.

نمونه گیری مجموعه رتبه دار یک روش انتخاب نمونه با استفاده از رتبه گذاری واحد های نمونه بدون انداره گیری دقیق آن ها است. این روش نمونه گیری در سال 1952 توسط مک اینتایر برای برآورد میانگین محصول ارائه شد. اگر چه رتبه گذاری همواره نمی تواند به صورت دقیق صورت پذیرد امّا این روش نمونه گیری برای حالاتی که در آن اندازه گیری واحد های جامعه هزینه بر و یا باعث تخریب نمونه می شود‏، مفید است. در این پایان‏ نامه به طور مختصر نگاهی به این روش نمونه گیری داشته و انواع طرح های جدید ارائه شده این روش در سال های اخیر را بررسی نموده ایم . ابتدا روش نمونه گیری مجموعه رتبه دار را معرفی کرده و برآوردگر میانگین جامعه براساس آن را بدست آورده ایم. در ادامه این روش نمونه گیری را در هر دو حالت رتبه گذاری کامل و ناکامل بررسی کرده و آن را با روش نمونه گیری تصادفی ساده از نقطه نظر اطلاع فیشر مقایسه کرده ایم. همچنین به مقایسه این دو روش رتبه گذاری برای بعضی از توزیع‏ های خاص آماری پرداخته ایم. برآوردگر‏ درستنمایی ماکسیمم را براساس نمونه گیری مجموعه رتبه دار برای دو پارامتر مکان‏، مقیاس و همچنین پارامتر همبستگی در حالت کلی بدست آورده و خواص آنها را بررسی کرده ایم. همچنین در این پایان نامه، به تعریف و مطالعه نمونه گیری مجموعه رتبه دار ‏میانه ای پرداخته و برآوردگر درستنمایی ماکسیمم برای پارامتر های جامعه براساس آن را بدست آورده ایم. در انتها برخی دیگر از انواع روش نمونه گیری مجموعه رتبه دار را معرفی و برآوردگر میانگین جامعه بر مبنای آن را محاسبه کرده ایم.

زمانی که صحبت از اعمال ترتیب در یک دنباله از بردارهای تصادفی دو یا چندمتغیری به میان می آید مساله متغیرهای همراه از اهمیت بخصوصی برخوردار است. در این پایان نامه ابتدا نظریه توزیع این متغیرها مورد بررسی قرار گرفته است. سپس با در نظر گرفتن خانواده چند متغیری فارلی گامبل مورگنشترن به محاسبه گشتاورها و کران ناپارامتری برای کوواریانس متغیرهای همراه دو بعدی متناظر با آماره های مرتب سانسور فزاینده نوع دو و رکوردها پرداخته ایم. همچنین میزان اطلاع فیشر نهفته در این متغیرها را نیز بررسی نموده ایم. بررسی های مشابهی برای خانواده شبه نمایی سه متغیره انجام شده است.

روش نمونه گیری مجموعه رتبه دار اولین بار توسط مک اینتایر ‎(1952)‎ برای افزایش دقت برآورد میانگین محصول مراتع ارائه شد. این روش هنگامی که اندازه گیری دقیق واحد های جامعه مشکل، هزینه بر و زمان بر هستند کاربرد دارد. در واقع اطلاع حاصل از رتبه بندی در مشاهدات نمونه بدست آمده باعث می شود در اغلب موارد برآوردگر های حاصل بر مبنای این طرح نسبت به متناظر آن در نمونه تصادفی ساده با اندازه نمونه یکسان کاراتر باشد‎.‎ در این پایان نامه در ابتدا مروری به مفهوم نمونه گیری مجموعه رتبه دار و تاریخچه ای از آن داشتیم. سپس رفتار حدی برآورد گر چندک بر مبنای طرح نمونه گیری مجموعه رتبه دار ‏را بررسی کرده و بازه اطمینان مجانبی برای چندک های جامعه ارائه داده ایم. در ادامه نمونه مجموعه رتبه دار میانه ای را معرفی کرده و روش محاسبه بازه اطمینان برای میانه جامعه بر مبنای ترکیب محدبی از آماره های ترتیبی طرح نمونه گیری مجموعه رتبه دار میانه ای را به نمونه مجموعه رتبه دار تعمیم داده ایم. در فصل آخر نیز بازه اطمینان براساس آماره های ترتیبی با اندیس تصادفی و ضریب اطمینان دقیق بر مبنای طرح نمونه گیری مجموعه رتبه دار ارائه کرده و با سایر روش های مطرح شده در این پایان نامه مقایسه کرده ایم.

تعاریف متفاوتی از قابلیت اعتماد در متون آماری وجود دارد. در حقیقت می توان آن را احتمال عملکرد رضایت بخش یک سیستم در زمان معین تعریف کرد. یکی از مسائل مورد علاقه در آنالیز قابلیت اعتماد برآورد احتمال اینکه یک متغیر تصادفی بتواند بر دیگری غلبه کند، می باشد و آن، r=p(x<y) است، که در آن x و y متغیرهای تصادفی مستقل می باشند. اگر فرض کنید که متغیرهای تصادفی x و y نشان دهنده طول عمر دو وسیله باشند، در این صورت r را می توان احتمال اینکه یکی قبل از دیگری از بین برود، تعبیر نمود. در اینجا r در حقیقت پارامتر قابلیت اعتماد در یک مدل تنش-مقاومت است که در آن متغیر تصادفی y مقاومت یک وسیله را در مقابل فشار تصادفی x نشان می دهد.

مفهوم باقی مانده عمرو اندازه های گوناگون مربوط به آن مانند میانگین، واریانس، ضریب همبستگی، میانه و صدکهای باقی مانده عمرکاربرد زیادی در مدل بندی و تحلیل داده های طول دارند در این پایان نامه، ابتدا خواص و ویژگی های میانگین باقی مانده عمر بررسی می شوند. سپس با توجه به اینکه در مطالعات مربوط به مباحث قابلیت اعتماد، سیستم ها از جمله سیستم موازی نقش مهمی را ایفا می کنند، میانگین باقی مانده عمر برای این سیستم ها تحت شرایط مختلف مطالعه می شوند. از طرفی با توجه به اینکه صدکهای باقی مانده عمر مزیت هایی نسبت به میانگین باقی مانده عمر دارند، معرفی و بررسی ویژگی های این اندازه و تعمیم آن برای سیستم های موازی با مولفه های مستقل و غیر هم توزیع، بخش اصلی پایان نامه را تشکیل می دهد. در محاسبه صدکهای باقی مانده عمر برای سیستم های موازی فرض شده است که توزیع طول عمر مولفه ها از مدل نرخ خطر معکوس متناسب پیروی می کنند.

طرح سانسور فزاینده نوع دو اولین بار توسط کمپس ‎(1995)‎ معرفی گردیده است، به طوریکه این طرح سانسور در آزمونهای طول عمر و قابلیت اعتماد بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. در این پایان نامه ابتدا به برآورد بیز پارامترهای توزیع گاما دو پارامتری با استفاده از روش نمونه گیری گیبس به همراه نمونه رد کردنی تطبیق پذیر بر اساس داده های کامل می پردازیم، سپس با استفاده از روش درستنمایی ماکزیمم به برآورد پارامترهای توزیع گاما سه پارامتری با تغییر پارامترها و روش پیش بینی و تصحیح، بر روی داده های کامل پرداخته ایم. از طرفی باساک و بالاکریشنان (‎2012) بر روی برآورد پارامترهای توزیع گاما سه پارامتری بر اساس سانسور فزاینده نوع دو استنباط هایی انجام داده اند، اما روش پیشنهادی آن ها دارای اشکالاتی می باشد لذا مجددا برآورد پارامترهای توزیع گاما سه پارامتری را به کمک الگوریتم em ‎ و روش تکرار عددی نیوتن رافسون محاسبه کرده ایم. در هر بخش محاسبات عددی مورد نظر در جداولی آورده شده و میزان کارآمدی روش های ارائه شده نیز با هم مقایسه شده اند. همچنین برنامه های کامپیوتری نوشته شده توسط نرم افزار ‎ r ‎در قسمت ضمیمه این پایان نامه موجود می باشند.

کسترش رشته های مختلف علوم و نیاز به مدلهایی با انعطاف پذیری بیشتر باعث شد تا آماردانان مدلهای تعمیم یافته را معرفی نمایند. در این رساله با استفاده از ایده توزیعهای موزون، مدل تعمیم یافته جدیدی که مبتنی بر داده های ترتیبی است معرفی می شود. خواص آن مورد مطالعه قرار می گیرد سپس این مدل تعمیم یافته و حالتهای خاص آن از منظر معیارهای اطلاع نظیر آنتروپی، اطلاع کولبک لیبلر و اطلاع فیشر و همچنین محک پیتمن مورد بررسی فقرار می گیرد.

انتخاب مناسب ترین برآوردگر در بین برآوردگرهای موجود‏، یکی از دغدغه های محققین در علم آمار است. با توجه به این مهم‏، معیارهای مختلفی از جمله نااریبی‏، کمترین میانگین مربعات خطا و ‏غیره به عنوان معیاری برای انتخاب مناسب ترین برآوردگر با توجه به شرایط مسئله مورد توجه قرار گرفته اند. در این پایان نامه معیار دیگری به نام معیار پیتمن ـ نزدیکی را برای انتخاب یک برآوردگر مناسب بررسی می کنیم. از جمله پژوهش هایی که در این پایان نامه به انجام رسیده است‏، می توان به بررسی احتمال پیتمن ـ نزدیکی (همزمان) آماره های مرتب معمولی و آماره های مرتب سانسور فزاینده نوع دو از راست برای انتخاب بهترین برآوردگر در بین برآوردگرهای موجود برای چندک های جامعه اشاره کرد. محاسبات برای توزیع های نمایی و یکنواخت با جزئیات ارائه شده اند. در مطالعات سال های اخیر‏، اکثراً معیار پیتمن ـ نزدیکی (همزمان) تحت تابع زیان قدرمطلق بررسی شده است. در این پایان نامه علاوه بر این تابع زیان‏، از تابع زیان های دیگری نیز استفاده شده است.

داده های جهت دار، به طور مکرّر در علوم فیزیکی و طبیعی چون زیست شناسی، پزشکی، محیط زیست، زمین شناسی و غیره‎ به کار می روند. به طور مثال، زیست شناسان در مطالعه مهاجرت پرندگان، جهت پرواز پرندگان را که به تنهایی رها می شوند، ثبت می کنند. یک مجموعه از چنین مشاهداتی روی جهات به عنوان داده های جهت دار منسوب می شوند. از آن جایی که یک جهت دارای مقدار و اندازه نیست، می توان به راحتی به صورت نقاطی روی محیط یک دایره واحد متمرکز در مبدأ یا به صورت بردارهای واحد که مبدأ را به این نقاط متصل می کند، نشان داد. به دلیل این نمایش دایره ای، داده های دایره ای نیز نامیده می شوند.‎ ماردیا‎‎ (1972)‎‎‎، فیشر (1993)‎‎‎، جامالاماداکا و سارما (1988)‎‎‎، جامالاماداکا و سنگوپتا (2001)‎‎ و بسیاری از افراد دیگر به تحقیق درباره داده های جهت دار ‎(دایره ای)‎ در زمینه آمار استنباط و مباحث مربوط به همبستگی بین متغیّرها، رگرسیون و غیره پرداخته اند. حال، در این پایان نامه سعی بر آن داریم تا به طور مختصر داده های دایره ای و توابع توزیع مربوط به آن ها را معرفی و سپس به بحث در مورد ضریب همبستگی و رگرسیون ‏دایره ای بپردازیم. لازم به ذکر است که، هدف اصلی در این پایان نامه بررسی رگرسیون دایره ای-دایره ای (زمانی که هر دو متغیّر پاسخ و توضیحی دایره ای هستند) می باشد و رگرسیون دایره ای-خطی و رگرسیون خطی-دایره ای نیز به طور مختصر توضیح داده شده اند و نیاز به بررسی های بیشتری در این زمینه می باشد.

در‎ این پایان نامه‏ شاخص های اقتصادی شامل ضریب جینی‏، شاخص پیترا و همچنین منحنی لورنتس را ‎‏مطالعه می نماییم‏، که به کمک آن ها می توان نابرابری توزیع درآمد یک جامعه را موردبررسی قرار داد. همچنین به بررسی شاخص های ضریب جینی فقرا‏، سن و شاخص‎ ‎sst ‎که به ترتیب نابرابری توزیع درآمد در میان افراد فقیر جامعه و شدت فقر در کل جامعه را موردبررسی قرار می دهند‏، می پردازیم. در این راستا به برآوردیابی نقطه ای این شاخص ها‏، هم از دیدگاه درستنمایی ماکسیمم و هم از دیدگاه ناپارامتری می پردازیم. باتوجه به اینکه برآوردگرهای فاصله ای دقت برآورد را نشان می دهند و استفاده از آن ها در علوم غیر آماری متعارف تر می باشد‏، کمیت محوری و فاصله اطمینان تعمیم یافته برای این شاخص ها (زمانی که توزیع جامعه ی موردنظر پارتو باشد) را نیز بدست می آوریم. ‎‏‎ به منظور بررسی میزان نابرابری درآمد در بین قشر متوسط جامعه نیز ضریب جینی را تعمیم می دهیم و برآوردگرهای نقطه ای آن را تحقیق می کنیم. علاوه بر این‏‏، فاصله اطمینان تعمیم یافته ی این شاخص را نیز مشخص می نماییم. در پایان به مقایسه ی میزان ‏نابرابری درآمد افراد مزد و حقوق بگیر ایران در سال های 1382 و 1386‏، براساس نتایج پایان نامه می پردازیم.

قابلیت اعتماد یک سیستم طول عمر با مدل بندی مقاومت- فشار به صورت (r=p(y>x اندازه گیری می شود، که در آن y متغیر مقاومت یک واحد و x متغیر فشار وارد شده بر آن واحد می باشد. مساله برآورد پارامتر قابلیت اعتماد r مورد توجه محققین و کاربران بسیاری واقع شده و مطالعات وسیعی تحت توزیع های مختلف براساس داده های کامل، سانسور شده، رکوردها و سایر داده های ترتیبی انجام شده است. مدل های مقاومت- فشار دارای کاربردهای زیادی در سیستم های مهندسی مثل ایستگاه میکروموجی، اینترنت، ماهواره، سیستم های نفت کشی ،سیستم های خلا در پدال گاز الکتریکی و سیستم های طول عمر دارند. به منظور آشنایی بیشتر با این مبحث ، در این طرح به بررسی و تحقیق در مورد چنین مدل هایی در سیستم های منسجم می پردازیم. سعی می کنیم قابلیت اعتماد یک سیستم منسجم را از دیدگاه های مختلف مورد توجه قرار دهیم و در حالات مختلفی که برای متغیرهای فشار و مقاومت پیش می آید به محاسبه و برآورد این پارامتر بپردازیم.

در تحقیقات آماری پژوهشگر با مسأله انتخاب روش مناسب جهت جمع آوری نمونه و اطلاعات مواجه است. به عبارتی در مسائل آماری به دست آوردن داده ها از طریق فرآیندی دقیق که بتوان با صحت و دقت بیشتر در مورد خصیصه های جامعه اظهارنظر کرد‏، یکی از اصول اساسی است. بنابراین پژوهشگر به دنبال روش هایی است که بتواند دقت موردنظر را برای برآورد مشخصه های یک جامعه با حداقل هزینه تأمین کند. در این رساله، به منظور استنباط در مورد چندک های جامعه دو روش نمونه گیری جدید معرفی می شود.

یکی از مهم ترین مفاهیم در قابلیت اعتماد، میانگین باقیمانده ی عمر می باشد. در سالهای اخیر این مفهوم به طور گسترده در سیستم هایی با ‎$ n $‎ جزء، که هر یک از اجزای سیستم دارای یک مولفه می باشد، مورد توجه واقع شده است. ولی در عمل با سیستم هایی مواجه می شویم که هر یک از اجزای آن ها دارای دو و یا بیش از دو مولفه ی وابسته هستند، که از آن ها با عنوان سیستم های مرکب یاد می کنیم. در این پایان نامه به بررسی میانگین باقیمانده ی عمر و قابلیت اعتماد سیستم های مرکب با دو و سه مولفه ی وابسته به طور مجزا می پردازیم.