فصل اول به توضیح ضرب تانسوری فضاهای حالت می پردازد این موضوع اساس درک ریاضی مباحث مربوط به ترکیب تکانه های زاویه ای در مکانیک کوانتومی است . در فصل دوم توصیف نسبتا کاملی از تکانهء زاویه و جنبه های مختلف آن در مکانیک کوانتومی آورده شده است و سعی شده آن قسمتهایی مورد بررسی قرار گیرد که یا به طور مستقیم در اثبات فرمولهای فصول بعد به کار آمده اند (مانند خواص ضرایب کلبش گوردن، ضرایب 3j و قضیه ویگنر-اکارت و ...) یا حداقل دانستن آنها برای درک عمیق تر مباحث آینده لازم بوده اند (مانند مطالب مربوط به اسپین). فصل سوم مربوط به مبحث اختلال وابسته به زمان است که هدف آن بدست آوردن فرمول طلایی فرمی یا همان فرمول (3.51) است . این رابطه در واقع نقطهء شروع برای بدست آوردن فرمول نهایی (6.79) می باشد. در فصل چهارم مباحث مربوط به بسطهایی چندقطبی آمده که هدف آن بدست آوردن فرمول (4.115) می باشد که در واقع ابزار اساسی ما در محاسبات عناصر ماتریسی (6.16) می باشد. فصل پنجم در واقع بحث استانداردی در الکترودینامیک کوانتومی است و هدف آن کوانتومی کردن میدان الکترومغناطیسی است و در روابط (5.81) و (5.82) به این نتایج رسیده است . در فصل ششم هم که هدف اصلی این پروژه است از تمامی نتایج فصول قبل استفاده شده و فرمول نهایی بدست آمده است .

الکترونها در یک جامد، پتانسیلی از دو مولفه خیلی متفاوت را مشاهده می کنند. در مغزها یا نزدیکی آنها یک پتانسیل هسته ای قوی را حس می کنند بنابراین توابع موج آنها مانند توابع موج الکترونهای مقید در اتمهای مجزاست . بین مغزها، غالبا پتانسیل ثابت را می بینند و توابع موج مربوط تقریبا امواج مسطح می باشند. چون الکترونهای ظرفیت پاسخگوی اغلب خواص فیزیکی و شیمیایی هستند لذا رفتار تابع موج این الکترونها خارج از مغزها اهمیت ویژهای دارد. در روش شبه پتانسیل فقط انرژی الکترونهای ظرفیت محاسبه می شود فرض می شود مغزها در یک پیکربندی اتمی، ثابت باشند و الکترونها در یک شبه پتانسیل حرکت می کنند. شبه پتانسیلهایی که مستقیما از اطلاعاتی درباره ساختار اتمی بدست می آیند شبه پتانسیلهای "ابتدا به ساکن" نامیده می شوند، این پتانسیلهای ویژه مقادیر صحیح و ویژه توابع بدون گره که با توابع موج اتمی خارج از یک شعاع مغزی معین سازگارند نتیجه می دهند. ابتدا برای تعیین این شبه پتانسیلها، معادلات دیراک مربوط به یک آرایش الکترونی محاسبه می شود. خروجی، ویژه مقادیر تک الکترومی برای حالتهای مغزی و ظرفیت و توابع موج شعاع و پتانسیلهای خود سازگار در طرح تقریب چگالی موضعی می باشد. شبه پتانسیل نهایی که شبه تابع موج همواری در ناحیه مغزی ایجاد می کند، می تواند از وارون کردن معادله شعاعی شرودینگر بدست آید. این شبه پتانسیلها عموما غیرموضعی می باشند به طوری که هر مولفه اندازه حرکت زاویه ای از شبکه تابع موج حول هر مرکز اتمی، پتانسیل متفاوتی ناشی از حالتهای مغزی متفاوت را حس می کند. هدف از این تحقیق آن است که پس از بررسی روشهای محاسباتی ساختار نواری و شناخت مفهوم شبه پتانسیل در مطالعه بلورها به کاربرد روشهای تولید شبه پتانسیل بپردازیم و بتوانیم برای هر عنصری که بخواهیم شبه پتانسیل مرغوب تولید کنیم. در این پروژه ما اقدام به تولید شبه پتانسیل چند عنصر واسطه به روش "بقاء نورم" (hsc) پس از مطالعه نظری این روش نموده ایم.

محاسبه کوانتومی یک روش جدید و قدرتمند برای محاسبه است. با استفاده از مفاهیم کوانتومی نظیر توازی کوانتومی به هم تافتگی و نظایر آن الگوریتم های موثر کوانتومی برای حل مسائل جدید بنا شده است. از تبدیل فوریه کوانتومی ‏‎qft‎‏ بعنوان ابزاری قدرتمند در ‏‎qc‎‏ استفاده می شود. الگوریتمهای مهمی چون الگوریتم تخمین فاز کوانتومی که براساس ‏‎qft‎‏ بنا شده اند بطور کامل مورد بررسی قرار خواهند گرفت. مسئله تجزیه را می توان به مسئله یافتن مرتبه یک عدد و یافتن دوره تناوب یک عدد تبدیل کرد.

در این نوشتار تقریبهائی را که منجر به معادله تک - الکترونی برای الکترونهای درون بلور می شود مورد بررسی قرار داده و روشهای مختلف محاسبه ساختار نواری به صورت مختصر بیان شده است. تقریب شبه پتانسیل، انواع شبه پتانسیلها و نحوه بدست آوردن شبه پتانسیل ابتدا به ساکن به کمک محاسبات خودسازگار به شکلی مبسوط مطرح گردیده اند ضمنا انواع روشهای نظری و روشهای تجربی (البته به اختصار) محاسبه ناپیوستگی های نواری بیان شده و از بین آنها دو روش نظری بسیار مهم پتانسیل متوسط و چگالی حالتهای موضعی ‏‎(ldos)‎‏ برای ابر شبکه ‏‎gaas/alas‎‏ ابتدا برای سه لایه اتمی و سپس برای شش لایه اتمی محاسبه گردیده و نتایج با یکدیگر و با نتایج گزارش شده نظری و تجربی دیگران مقایسه شده اند.

در این پایان نامه سعی شده است برخی از خواص الکترونیکی ساختار ‏‎si/ge‎‏ به صورت نظری محاسبه و با مقادیر تجربی مقایسه گردد. تکنیک به کار رفته در این محاسبات استفاده از روش خودسازگار و نظریه تابعی چگالی در چارچوب شبه پتانسیلهای ابتدا به ساکن می باشد.