قضیه ای کلاسیک در نظریۀ گروه ها می گوید اگر G یک 2-گروه متناهی باشد که تنها یک عضو مرتبۀ 2 دارد، آن گاه  G دوری است یا با یک ٢-گروه کواترنیون تعمیم یافته یکریخت است. هدف این نوشته، ارائۀ برهانی جدید برای این قضیه است.

در این رساله سه ساختار تعمیم یافته که عبارتند از گروه تعمیم یافته، عمل تعمیم یافته و گروه توپولوژیک تعمیم یافته، معرفی شده اند. روشهایی برای ساختن گروهای تعمیم یافته ارائه کرده ایم و در ادامه، چند خاصیت در رسته گروهای تعمیم یافته ثابت کرده ایم و در آخر نشان داده ایم که اگر n یک زیر گروه تعمیم یافته نرمال از یک گروه توپولوژیک تعمیم یافته همساز باشد آنگاه g/n نیز یک گروه توپولوژیک تعمیم یافته است .

در این پایان نامه ما سعی کرده ایم از دید توپولوژیکی پس از بیان مقدمات و تعاریف لازم، به بررسی گروهها و زیرگروههای تعمیم یافته بپردازیم. زیرگروههای نرمال تعمیم یافته راه رسیدن به فضای هم مجموعه ای را برای ما هموار می کند. و سپس نگاهی به حاصلضرب گروههای تعمیم یافته توپولوژیک ، گروههای موضعی تعمیم یافته و گروههای تعمیم یافته همبند می اندازیم. و در کارهای بعد با در نظر گرفتن فضایی توپولوژیک و گروه ...

نشان می دهیم که اگر g یک گروه توانا و زیرگروه مشتق آن دوری باشد آنگاه اندیس مرکز توسط تابعی از مرتبه زیرگروه مشتق کران دار است. همچنین کران های دیگری نیز به همراه شرایطی دیگر بیان می شود. در جایی دیگر نشان می دهیم که q8 نمی تواند زیرگروه نرمال یک گروه توانا باشد و از آن نتیجه می گیریم که گروه کواترنیون های تعمیم یافته و گروه نیم دووجهی نمی توانند توانا باشند.

در این پایان نامه ما متناوب بودن دنباله های تعمیم یافته ی 2-پله ای را برای گروههای دووجهی مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه به بررسی دنباله های تعمیم یافته ی 3-پله ای پرداخته و نشان می دهیم که گروههای دووجهی وگروههای کواترنیون تعمیم یافته دنباله پذیرند.

در این پایان نامه ابتدا مفهوم گراف جابجایی گروه های متناهی را بیان می کنیم. سپس به بررسی گراف جابجایی گروه دووجهی، گروه متقارن و گروه کواترنیون تعمیم یافته می پردازیم.با بیان ویژگی های معینی از گراف جابجایی این گروه ها عدد خوشه، عدد استقلال، عدد پوششی و ...گراف های مربوطه را به دست می آوریم. در پایان هر قسمت با استفاده از قضایا و نتایجی که همبند یا ناهمبند بودن گراف جابجایی این گروه ها را مشخص...

برای نیم گروه s گراف توان به صورت زیر تعریف می شود: رأس های گراف همان اعضای s هستند و دو رأس متمایز مجاورند اگر و فقط اگر یکی توانی از دیگری باشد .به طور مشابه می توان برای یک گروه نیز گراف توان را تعریف نمود. در این طرح شرط معادل برای این که گراف توان یک گروه کامل باشد بیان شده است همچنین در مورد همبندی گراف نیز شرایط معادلی مطرح و اثبات شده است. تمرکز بیشتر این طرح بر روی نیم گروه zn...

در این پژوهش یک رابطه ی هم ارزی بر روی مجموعه ی تمام زیرمجموعه های فازی گروه g تعریف کرده ایم. با توجه به این رابطه ی هم ارزی برای محاسبه ی تعداد زیرگروه های فازی متمایز گروه g کافی است تعداد زنجیرهای از زیرگروه های g که به g ختم می شوند را محاسبه کنیم. در این زمینه اصل شمول-عدم شمول دارای نقش اساسی است. در بسیاری از موارد از جمله در گروه دوری، p-گروه آبلی مقدماتی، رده ای خاص از گروه هامیلتونی،...

مطالعه‎‎‎‎ گروه ها با استفاده از پایاهای (کو)همولوژیکی‏، چون نقش موثری در مطالعه ی خواص (کو)همولوژیکی گروه دارند‏، سالهاست که مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته است. پایای کوهمولوژیکی که توسط گدریخ ‎ و گرونبرگ ‎معرفی شد‏ه اند‏‏. ‎‎ splig‎‎‏سو‎‎‏پریمم بُعد تصویری ‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تزریقی و silp‎g‎‎‎‎‏‎ سوپریمم بُعد تزریقی‎‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تصویری می باشند. ‏مادراین پایان نامه نشان می دهیم که گ...

سیستم نیمه دینامیکی کامل توپولوژیکی " از دیگر مفاهیمی است که مورد بررسی " سیستم نیمه دینامیکی کامل توپولوژیکی " از دیگر مفاهیمی است که مورد بررسی قرار گرفته است. و در پایان " فضای ژنتیک " را به عنوان یک " سیستم نیمه دینامیکی کامل توپولوژیکی" معرفی می کنیم که تلاشی در جهت نشان دادن کاربردی بودن مبحث سیستم نیمه دینامیکی کامل توپولوژیکی است.