احتمال تعویض ناپذیر و پیچش متغیرهای تصادفی آزاد

نظریه ی احتمال تعویض ناپذیر بر اساس درکی عمیق از نظریه ی احتمال کلاسیک و مفاهیم جبری پدید آمده است. ویکولسکیو (1983) دریافت که پرداختن به بعضی از مسائل مشخص جبر عملگری توسط تقلید کردن از تئوری احتمال کلاسیک امکان پذیر است. در حقیقت در نظریه ی احتمال تعویض ناپذیر، متغیرهای تصادفی لزوما از خاصیت تعویضپذیری برخوردار نیستند، به طور مثال برای دو متغیر تصادفی x ,y خاصیت e(xxy)=e(xyx) لزوما برقرار نیست. احتمال آزاد حالت خاص احتمال تعویض ناپذیر است که در آن مفهوم آزادبودن جایگزین مفهوم استقلال در نظریه ی احتمال کلاسیک می شود. مطالعه احتمال آزاد با رویکرد ترکیبیاتی از 1994 آغاز شده است. یکی از موفقیت های این رویکرد، ساده کردن محاسبات جبری پیچیده با وارد کردن مفهوم آزادبودن و با استفاده از افرازهای نامتقاطع است. در این پایان نامه به معرفی نظریه احتمال تعویض ناپذیر و احتمال آزاد با رویکرد ترکیبیاتی خواهیم پرداخت. بدین منظور ابتدا مفاهیمی از احتمال کلاسیک مانند فضای احتمال، متغیر تصادفی، امید ریاضی، استقلال و انباشتک را یاداوری کرده و سپس به معرفی همین مفاهیم در احتمال تعویض ناپذیر خواهیم پرداخت. قبل از معرفی مفهوم انباشتک آزاد با رویکرد ترکیبیاتی، اعداد کاتالان، افرازهای نامتقاطع و فرمول عکس موبیوس معرفی و قضایای مربوط به آن ها اثبات کرده و سپس انباشتک های آزاد را بیان و اثبات قضایای مربوط با آن را خواهیم آورد. در انتها نیز از خواص انباشتک های آزاد برای محاسبه پیچش متغیرهای تصادفی آزاد استفاده و توزیع مجموع متغیرهای تصادفی آزاد را همراه با یک حالت خاص از قضیه حدمرکزی آزاد بیان خواهیم کرد.