کاربرد t- اسپلاین های دوبعدی در روش اجزای محدود برای حل مسایل سهموی

امـروزه صنعت طـراحی اشیاء توسـط رایانه به سرعـت در حـال پیشرفت است، به طـوری که در چند سـال اخـیر نرم افزار های قدرتمندی بدین منظور طراحی و ساخته شده اند. در اکثر این نرم افزار ها از توابع ریاضی جهت تقریب شکل مورد نظر استفاده می شود. b´ezier، - اسپلاین وnurbs از جمله توابعی هستند که تا دهه ی اخیر مورد استفاده قرار می گرفتند. برای مثال نرم افزار گرافیکی rhino که برای طراحی اجسام سه بعدی به کار می رود، بر اساس توابع nurbs ساخته شده است. به دلیل محدودیت هایی که در استفاده از این توابع وجود داشت، در سـال 2003 thomas w. sederberg سطـح جدیدی به نامt - اسـپلاین را معـرفی کرد که نسبت به توابع قبلی از ویژگی های منحصربه-فردی برخوردار است (ر. ک. [1]). هم اکنون نرم افزار قدرتمندی به نام t-splines ارائه شده است که به همراه برنامه ی rhino جهت طراحی اجسام سه بعدی به کار می رود. (برای آشنایی بیشتر با کاربرد این نرم افزار به سایت http://www.tsplines.com/ مراجعه نمایید.) با توجه به ویژگی هایی که این تابع در مقایسه با توابع قبلی دارد، بر آن شدیم تا به مطالعه و تحقیق پیرامون این تابع و کاربرد آن در روش اجزای محدود برای حل معادلات با مشتقات جزیی بپردازیم. مطالب ارائه شده در این پایان نامه در چهار فصل به صورت زیر طبقه بندی می شوند: فصل 1: مقدمه و تعاریف اولیه. در این فصل به معرفی و بیان ویژگی های توابع b´ezier، - اسپلاین وnurbs می پردازیم. فصل 2: معرفیt - اسـپلاین. در این فصل نحوه ی تشکیل شبکه ی کنترل برایt - اسـپلاین از درجات مختلف بیان و ویژگی های آن بررسی می شود. فصل 3: معرفی الگوریتم پیاده سازی t- اسپلاین روی سطوح دو بعدی. در این فصل به ارائه ی الگوریتمی جهت به دست آوردن دنباله های گره ای متناظر با هر نقطه ی کنترل و تعیین سطح t- اسپلاین توسط نرم افزار mathematica می پردازیم. در این الگوریتم، شبکه بندی داخلی به صورت منظم در نظر گرفته شده است که صورت پیچیده و نامنظم آن می تواند در کارهای آتی مورد بررسی قرار گیرد فصل 4: کاربرد t- اسپلاین ها در روش اجزای محدود. در این فصل روش اجزای محدود را به طور مختصر توضیح و نحوه ی استفاده از توابع پایه ای در این روش برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و به طور خاص معادلات سهموی ارائه داده می شود.