قضیه نمایش ریس از دیدگاه آنالیز محاسباتی

چکیده: در این رساله، صورت محاسبه پذیر قضیه نمایش ریس، مبتنی بر توابع با تغیرات کراندار و اندازه های حقیقی، برای دوگان فضای c[0;1] نشان داده شده است.‎ یادآوری می کنیم که طبق قضیه نمایش ریس، به ازای هر عملگر خطی پیوسته‎f: c[0;1]?r تابع با تغیرات کراندار‎g: [0;1]?r‎ و اندازه حقیقی µ روی مجموعه های بورل بازه یکه وجود دارد بطوریکه برای هر تابع پیوسته ‎h‎ داریم‎f(h) = ? h dg = ? h dµ . برای بررسی محاسبه پذیری مسائل مطرح شده، از رویکرد نظریه دوم کارایی ‎(tte) استفاده خواهد شد. مزیت این رویکرد در توانمندی آن برای ارائه نمایشها/کدگذاریهای مناسب برای عملگرها و عناصر در آنالیز محاسباتی است.‎ در آغاز صورت محاسبه پذیر قضیه مبتنی بر توابع با تغیرات کراندار نشان داده می شود. به منظور رسیدن به این مقصود، لازم است که اثبات کلاسیک جدیدی برای قضیه ارائه شود به گونه ای که با بهره گیری از آن صورت محاسبه پذیر قضیه استنتاج شود. مزیت دیگر اثبات کلاسیک جدید این است که راهگشای محاسبه پذیری صورت دیگر قضیه مبتنی بر اندازه ها نیز می باشد. ایده کلی اثبات چنین است که با کمک ‎f و نرم آن تابع با تغیرات کراندار ‎g معرفی می شود. ‎‎ قدم دوم اثبات قضیه ریس مبتنی بر اندازه ها است. برای رسیدن به این مقصود، از تعمیم نمایش معرفی شده برای اندازه های نامنفی کراندار استفاده خواهد شد. سپس با اثبات محاسبه پذیری تجزیه ژردن برای اندازه های حقیقی، نمایش مناسب برای مجموعه اندازه های حقیقی معرفی می گردد. لازم به ذکر است که برای اثبات محاسبه پذیری تجزیه ژردن برای اندازه ها، محاسبه پذیری تجزیه ژردن برای عملگرهای خطی پیوسته و توابع با تغیرات کراندار بررسی خواهد شد. در همه موارد تغیرات کل اندازه، نرم عملگر و تغیرات کل تابع با تغیرات کراندار به ترتیب برای محاسبات لازم هستند. ‎