مفهوم z-ایدال نسبی همان مفهوم z-ایدال در حلقه را در یک ایدآل اوردیم. نشان دادیم در چه فضاهای توپولوژی جمع دو z-ایدال نسبی یک z-ایدال نسبی است. یا اینکه آیا اشتراک دو z-ایدال نسبی در حلقه توابع پیوسته همیشه یک z-ایدال نسبی ست؟

ابتدا z-ایدآل های حلقه خارج قسمتی c(x) را به کمک z-ایدآل های حلقه c(x) مشخص خواهیم کرد و نشان می دهیم زمانی که فضای x شبه فشرده باشد، j/i یک z-ایدآل در حلقه (c(x))/i است اگر و تنها اگر j شامل i، یک z-ایدآل در c(x) باشد. z?-ایدآل های حلقه های خارج قسمتی c(x) بررسی خواهد شد و نشان می دهیم که برای هر دو z?-ایدآل i?j در c(x)، j/i یک z?-ایدآل در (c(x))/i است اگر و تنها اگر هر z?-ایدال اول در c(x) مینیمال باشد.

در این پایان نامه z0-ایدآل ها و z-ایدآل ها در بعضی حلقه های تعویض پذیر مورد مطالعه قرار خواهند گرفت.بعضی حلقه های جدید معرفی می شوند.ایدآل هایی که همه اعضای آن مقسوم علیه صفر هستند و z0-ایدآل ها و ایدآل های اول تابی و z0-ایدآل های اول مورد بررسی قرار خواهد گرفت.به ویژه z0-ایدآل ها در pp-حلقه ها و حلقه های بئر مورد بررسی قرار خواهد گرفت

فرض می کنیم(z(r مجموعه مقسوم علیه صفر در حلقه ی جابجابی r و m فضای ایدآل های اول مینیمال در حلقه ی r با توپولوژی زاریسکی باشد.ایدآل i حلقه ی r را قویاًچگال یا به طور خلاصه sd-ایدآل گوییم، هرگاه i زیرمجموعه ای از (z(r و مشمول در هیچ ایدآل اول مینیمال نباشد. مجموعه ی همه α عضو r را که ( d(α) = m/v(α در m فشرده باشد. نشان می دهیم که r دارای خاصیت (a)و m فشرده است اگر وتنها اگر r هیچ sd-ایدالی نداشته باشد.ثابت می کنیم که( r k(m اساسی است اگر وتنها اگر m تقریباً فشرده موضعی باشد. اشتراک ایدآل های اول مینیمال اساسی در حلقه کاهش یافته r لزوماً یک ایدال اساسی نیست. ثابت می کنیم اشتراک ایدال های اول مینیمال اساسی در (c(x برابر با ساکل (c(x است.

در این پایان نامه مباحث زیر مطرح شده است: - حلقه های تعویض پذیر یکدار z-ایدآل ها، روابط آن با سایر ایدآل ها - حلقه های توابع پیوسته - احکام مقدماتی در مورد z- ایدآل های نسبی - بزرگترین، کوچکترین و ماکسیمال، مینیمال z_j- ایدآل برای ایدآل j در حلقه r - ماکسیمال ، مینیمال و بزرگترین z - ایدآل ساز یک ایدآل - z- ایدآل نسبی در حلقه c(x) -z - ایدآل های نسبی و ارتباط آنها با فضای توپولوژی x همچنین ثابت می شودهرگاه i یک ایدآل شبه اول در حلقه c(x) باشد، i یک z- ایدآل نسبی است اگر و تنها اگر i یک z ایدآل باشد. همچنین داریم x یک f- فضاست اگر و تنها اگر مجموع هر دو z_j - ایدآل در c(x) یک z_jhdnhg fhan

برای حلقه تعویض پذیر r، گرافی با رئوس در مجموعه z(r) ( مقسوم علیه های صفر r) است به طوری که رتوس مجزا a و b مجاور هستند اگر و تنها اگر ab=0. فرض کنید r یک حلقه تعویض پذیر و حلقه ی ماتریس های روی r باشد. و به ترتیب گراف های مقسوم علیه های صفر r و است. بخشی از هدف ما در این پایان نامه پیدا کردن روابط بین قطر و است. این مسئله را بصورت طبیعی با بررسی روابط بین گراف مقسوم علیه صفر حلقه تعویض پذیرr و جندجمله ایها و سری های توانی روی حلقه های مشابه بررسی می کنیم.

یک عضو از حلقه ی r تمیز است هرگاه به صورت جمع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان باشد و زیرمجموعه ی a از حلقه ی r تمیز است هرگاه هر عضو آن تمیز باشد. در این رساله نشان می دهیم که حلقه ی گلفند نیم اولیه ی r تمیز است اگر و تنها اگر max(r) از بعد صفر باشد، اگر و تنها اگر برای هر ، اشتراک همه ی ایدآل های اول مشمول در m ، توسط یک مجموعه از خودتوان ها تولید شود. همچنین چندین حالت معادل برای حلقه های تابعی تمیز ارائه می دهیم. در حقیقت ، یک حلقه ی تابعی r تمیز است اگر و تنها اگر مجموعه عضوهای تمیز تحت جمع بسته باشند، اگر و تنها اگر هر مقسوم علیه صفر تمیز باشد، اگر و تنها اگر r یک ایدآل اول تمیز داشته باشد.

در این پایان نامه مطالبی در خصوص اعداد اول، از جمله؛ تعداد آنها، نحوه ی توزیع آنها، n امین عدد اول، شکاف بین آنها، اعداد اول دوقلو، اعداد اول در تصاعد عددی و حدس گلدباخ آورده شده است. همچنین به بررسی خواص !n و یافتن بزرگترین توان عدد اول p در تجزیه ی !n ، پرداخته شده است، در این راستا کارهایی که برند، چن، لوکا، استانیکا و ساندر در این خصوص، انجام داده اند، مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین مسئله ای از پاول اردیش و گراهام در رابطه با !n آورده شده است. در نهایت قضایایی از چن و لی در این خصوص بیان گردیده و به تفصیل به آنها پرداخته شده است،که نتایج حاصل بدین صورت می باشند، (1) برای هر عدد صحیح مثبت m، هر عدد اول p و هر عضو دلخواه ε از z_m ، بی نهایت عدد صحیح مثبت n وجود دارد به طوری که، بزرگترین توان p در تجزیه ی !n ، به پیمانه ی m با ε همنهشت است. (2) برای هر عدد صحیح مثبت m، یک مقدار ثابت وابسته به m وجود دارد به طوری که اگر p و q دو عدد اول متمایز باشند، که ماکسیمم مقدار p و q از آن بزرگتر است، همچنین اگر دو عضو از اعضای ?_m مانند ε و δ داده شده باشند، آنگاه بی نهایت عدد صحیح مثبت n وجود دارند به طوری که بزرگترین توان p در تجزیه ی !n و بزرگترین توان q در تجزیه ی !n ، هر کدام به پیمانه ی m، با یکی از دو عضو ε و δ همنهشت هستند.