در این رساله ابتدا مدول های باناخ از جمله مدول های هیلبرت و مدول های فینسلر مورد مطالعه قرار می گیرند و سپس فضاهای عملگری روی این مدول های باناخ مورد بحث واقع می شوند. در بخش دوم از این رساله با گذر از جبرهای باناخ به رده ی دیگری از جبرهای توپولوزیک به نام lmc-جبرها، مجددا انواع مدول ها را روی این رده از جبرهای توپولوژیک را مطالعه می کنیم و نهایتا معطوف فضاهای عملگری و نگاشت های حافظ بر روی مدول های توپولوژیک خواهیم شد.

یکی از قضایای مهم آنالیز تابعی کلاسیک، قضیه ای موسوم به نام اتکینسون است که بیان می کند عملگر خطی و کراندارt از h به h فردهولم است اگر و تنها اگر تصویر h تحت t (ran t) بسته بوده و dim ker t و dim(h/ran(t)) متناهی باشند. در سال 1953 میلادی، کاپالانسکی با الهام از تعریف فضای هیلبرت، مفهوم جدیدی به نام c* - مدول هیلبرت را ارائه نمود و از آن پس تلاش های فراوانی از سوی ریاضیدان های مختلف، از جمله ویلیام پاشکه در راستای گسترش مفاهیم و قضایای مشابه بر روی c* - مدول های هیلبرت، صورت گرفت. یک c*- مدول هیلبرت در واقع یک فضای خطی بوده که مشابه فضای هیلبرت، به یک ضرب داخلی تجهیز شده است. با این تفاوت که حوزه ی مقادیر این ضرب داخلی زیرمجموعه ای ازیک c*-جبر است. از این حیث می توان c* - مدولهای هیلبرت را به عنوان گسترشی ازفضاهای هیلبرت محسوب کرد. هدف اصلی این پایان نامه، مطالعه ی امکان اثبات قضیه ای مشابه قضیه ی اتکینسون برای عملگرهای خطی کراندار و همچنین بیکران، روی c* - مدولهای هیلبرت است که برگرفته شده از مقالات [2] و [9] می باشد. بدین منظور پایان نامه ی پیش رو در پنج فصل تدوین شده است. پاره ای از مفاهیم اولیه و قضایای مورد نیاز، بدون ارائه اثبات ذکر شده اند. مدولهای هیلبرت را معرفی و مفاهیمی مشابه فضاهای هیلبرت مانند نامساوی کوشی - شوارتز و اتحاد قطبی را برای یک c*- مدول هیلبرت بیان می کنیم. در ادامه عملگرهای خطی و الحاق پذیر، روی یک c*-مدول هیلبرت مانند e را مورد مطالعه قرار داده و ارتباط بین آنها را بیان می کنیم. مشخصه سازی عملگرهای فردهولم، روی رده ی خاصی از c*-مدولهای هیلبرت را بیان می کنیم که از این رهگذر مفاهیمی همچون عملگرهای فردهولم، پایه های متعامد، h*- مدولها و به ویژه h*- مدول e_hs مورد مطالعه قرار می گیرند. عملگرهای بیکران منظم را معرفی کرده و سپس مفهوم فردهولم را برای این دسته از عملگرها تعریف می کنیم. در ادامه یک مشخصه سازی از عملگرهای منظم فردهولم روی رده ی خاصی از c* - مدول های هیلبرت ارائه می دهیم.