فرض کنید که g یک p-گروه قوی باشد. مهمترین هدف ما در این پایان نامه این است که نشان دهیم بعضی از زیر گروههای نرمال این p-گروهها آبلی توانی اند.

ضربگر شور گروه g اولین بار توسط ع.شور در سال 1904 بیان شد. جی . آ . گرین در سال 1956 ثابت کرد که برای p-گروه متناهی از مرتبه p n داریم p 1/2 n(n?1 ام. ار.جونز درسال این کران را بهبود بخشید، در حقیقت وی ثابت کرد | m(g) || g? |? p1/2 n(n?1). که بنابراین به ازای خواهیم داشت | m(g) |= p 1/2 n(n?1)?t(g). در این پایان نامه ساختار p-گروه های متناهی وقتی که t(g) = 0, 1, 2, 3, 4 کاملا مشخص شده است.

در سال 1952 بئر مفهوم زیرگروه –nمرکز z(g,n) را بیان کرد که در آن z(g,n)= {a ? g ? (ax)n = an xn , (xa)n = xn an ? x ? g }. در این پایان نامه برای هر گروه g تمام اعداد صحیح m را به دست خواهیم آورد به طوری که z(g,m) z(g,n) ?. در پایان نیز مجموعه ای از اعداد صحیح s را به دست خواهیم آورد به طوری که .

در این پایان نامه ابتدا مفهوم درجه جابجایی یک گروه متناهی معرفی و سپس تمام گروه های با درجه جابجایی بزرگتر یا مساوی 1/2، در حد یکریختی، مشخص می شوند و در انتها برخی کران های پایین برای درجه جابجایی گروه های متناهی ارائه و گروه های با درجه جابجایی معین، مشخص می شوند.

فرض کنید g یک گروه باشد، گروه g را جابه جایی پذیری قوی یا pc-گروه می نامند،هرگاه به ازای هر x و y در g که x^m,y^n غیربدیهی هستند، اگر [x^m,y^n]=1 آنگاه [x,y]=1 . زیرگروه های فیتینگ و عمل های دارای نقطه-ثابت-آزاد نقش اساسی در مطالعه ی pc-گروه ها دارند. یکی از اهداف ما دراین پایان نامه رده بندی pc -گروه های موضعاً متناهی است که بدین منظور ابتدا p-گروه های متناهی و گروه های پوچ توان متناهی و درنهایت گروه های موضعاً متناهی را مورد مطالعه و رده بندی قرار خواهیم داد. یکی دیگر از اهداف ما دراین پایان نامه این است که هسته ی گروه جابه جایی پذیری قوی را روی گروه های موضعاً پوچ توان و گروه های متناهی که مرکز بدیهی دارند، بررسی کنیم.

ما در این پایان نامه، مفهوم ?-n?ایزوکلینیسم را به کلاس همه ی زوج گروههای (g,m)،که ? m?زیرگروه? ?نرمال ? g?است، توسعه داده و سپس با مطالعه جزئیات این مفهوم، تعدادی شرایط هم ارز را برای دو زوج گروه? ?پیدا می کنیم.? ??-n?ایزوکلینیک? ?به علاوه با معرف ?-n?ساقه زوج گروهها، زیرگروه-تحویلناپذیر و خارج قسمت-تحویلناپذیر نسبت به? ??-n?ایزوکلینیسم، ثابت می کنیم که ?-n?ساقه زوج گروهها، خارج قسمت-تحویلناپذیر نسبت به ?-n?ایزوکلینیسم? ?هستند و در حالت کلی تر، هر زوج گروهی که در شرط (? zn (m, g) ? ?n+1 (m, g?صدق کند، هم زیرگروه-? ?تحویلناپذیر و هم خارج قسمت-تحویلناپذیر نسبت به ?-n?ایزوکلینیسم می باشد.?

یکی از اهداف ما در این پایا نامه بدست آوردن توصیفی از ?t-گروه های متناهی برای کلاس ? از گروه ها است که خواص زیر را دارند: (?) ? نسبت به داشتن زیرگروه بسته است. (?) ? شامل همه ی گروه های آبلی متناهی است. (?) ? دوژنتیک در کلاس همه ی گروه های متناهی است. یکی دیگر از اهداف ما در این پایان نامه اثبات حل پذیری هر گروه متعدّی- حل پذیر متناهی و ارایه ی یک رده بندی از گروه های متعدّی- پوچ توان متناهی است. در فصل آخر به مطالعه ی رابطه ی جملات سری مرکزی بالابب و پایینی پرداخته و مطالب زیر را نشان می دهیم. فرض کنیدg یک گروه متناهی با زیرگروه مشتق از رتبه ی r باشد. ثابت می کنیم | g?z_(2 ) (g) |??|g^ |?^2r| و نشان می دهیم که اگر g گروهی توانا باشد آنگاه | g?z_ (g) |??|g^ |?^4r |. همچنین ثابت می کنیم اگر g یک p-گروه توانا باشد آنگاه رتبه ی g/z(g از بالا بر حسب تابعی از رتبه ی زیرگروه مشتق کراندار است.

اگر n عددی صحیح و مخالف 0و1 باشد bn واریته ی n_ بل گروه ها باشدکه با قانون [xn, y][x, yn]?1 = 1 تعریف می شود وb ?n کلاس همه ی گروه هایی باشد که به ازای هر دو مجموعه ی دلخواه x و y از g اعضای xوy از این دو مجموعه موجود باشند که [xn, y] = [x, yn]. برای n=+2,-2,3 ثابت می کنیم ، b ?n = bn ? f که f کلاس همه ی گروه های متناهی است.هم چنین در حالت های زیر بررسی می کنیم که هر b ?n_ گروه نامتناهی n_بل است: اگر g یک گروه باتولیدمتناهی و موضعامدرج باشد. g موضعا حل پذیر باشد.g موضعامدرج و nوn-1 برابر 2apb باشد(که pعدد اول وa ,b اعداد صحیح نامنفی هستند.)هم چنین نشان خواهیم داد که هر b*4 _ گروه نامتناهی 4 بل است.

در این پایان نامه گروه های موضعامدرج با یک شرط پوچ توانی روی زیر مجموعه هی نامتناهی را بررسی کرده هیم.این شرط به این صورت است که هر زیر مجموعه نامتناهی دارای ? عضو است که گروه وچ توان از کلاس حداکثر k تولید میکند.

برای یک گروه g ،فرض کنیدaut(g نشاندهنده گروه خودریختی های g باشدو خودریختی مرکزی g مجموعه ای از همه خودریختی در aut(g باشد که با هر خودریختی در inn(g جابه جا می شود.در این پایان نامه برخی نتایج درباره خودریختی مرکزی بدست می آوریم.

برای گروه دلخواه g مفهوم ضریب شور توسط شور در سال 1904 مطرح شد. همانند گروهها ضریب شور برای یک جبر لی دلخواه نیز معرفی گردید. کران هایی توسط افراد مختلف روی بعد ضریب شور معرفی گردید که از آن جمله میتوان به کران یانکوسکی اشاره کرد. در این پایان نامه ابتدا همه جبرهای لی پوچ توان با s(l)=1,2 را دسته بندی میکنیم و سپس بهبودی از کران یانکوسکی بدست می آوریم و در نهایت کاربردهایی از تنسور مربعی غیرآبلی را مطرح میکنیم.

اگر g یک p-گروه پوچ توان (نامتناهی) از نمای کران دار باشد آن گاه تانسور مربعی (به همین ترتیب مربع خارجی)نیز یک p-گروه (نامتناهی)است. در این پایان نامه، عکس این موضوع را تحت چند محدودیت بررسی می کنیم. هم چنین، ثابت می کنیم که اگر g یک گروه با تولید متناهی باشد به طوری که آبلی شده ی g توانا باشد آن گاه متناهی بودن g از متناهی بودن مربع خارجی g نتیجه می شود.

دراین پایان نامه ،ابتدابه معرفی درجه جابجایی گروههای متناهی می پردازیم ونتایج مرتبط با این مفهوم وایزوکلینیسم گروههارابه دست می آوریم.درنهایت مفهوم درجه خارجی گروههای متناهی تعریف می کنیم وبرخی نتایج رادر رابطه باآن بدست می آوریم.

یکی از زیباترین شاخه ها در نظریه گروه های متناهی, رابطه گروه های متناهی و گراف هاست. با استفاده از ساختار گروه های متناهی می توان گراف های متنوعی من جمله گراف جابجایی، گراف فولرنی و گراف توان را روی مجموعه عناصر یک گروه تعریف کرده و سپس نتایج جالبی هم در نظریه گراف ها و هم در نظریه گروه های متناهی می توان به دست آورد‎.‎ یک گروه دارای یک ساختار جبری است. یک مجموعه با یک عملگر دوتایی که شرکت پذیر, دارای عضو همانی و قانون معکوس در مورد آن برقرار است. ‎یک گراف یک ساختار ترکیبی دارد : یک مجموعه از راس ها که برای تعدادی از آنها, هر دوتای آنها به وسیله یک یال (جهت دار یا غیرجهت دار) به هم متصل می شوند. لذا مطالعه درباره جبر و ترکیبات شدنی است‎.‎ گروه ها دارای ساختار محکم تری نسبت به ساختار گراف ها می باشند. به عنوان مثال تنها ‎5‎ گروه متفاوت از مرتبه ‎8 وجود دارد درحالی که با ‎8 راس متمایز ‎12346 گراف متفاوت می توان رسم کرد. با این وجود نزدیکی زیادی بین گروه ها و گراف ها وجود دارد. از طرف دیگر هر گراف شامل یک گروه از خودریختی ها می شود, همچنین می توانیم یک گروه جایگشتی ‎ gرا به وسیله گراف ها مورد مطالعه قرار دهیم.در واقع گروه ‎g‎ مشمول در گروه خودریختی های یک گراف می باشد. به عنوان مثال تعدادی از گروه های ساده توسط گروه خودریختی های گراف ها ساخته شده اند‎.‎ ‎گراف های توان از نوع جهت دار یا بدون جهت می باشند. در حالتی که گراف توان جهت دار باشد یک کمان از a به ‎b‎ وجود دارد هرگاه b‎ توانی از ‎a‎ باشد. در گراف توان بدون جهت یک یال بین ‎a‎ و ‎b‎ وجود دارد هرگاه یکی توانی از دیگری باشد و آنرا با ‎p(g)‎ نمایش می دهیم‎.‎ واضح است که گراف توان جهت دار اطلاعات بیشتری نسبت به گراف توان غیرجهتدار درمورد گروهg ‎در اختیار ما قرار می دهد ولی هیچ یک اطلاعات کامل در مورد گروه g‎ نمی دهند. ‎در این پایان نامه یک ریختی گروه ها و گراف های توان را بررسی کرده و نشان خواهیم داد که اگر دو گروه متناهی دارای گراف های توان یک ریخت باشند دارای تعداد مساوی عناصر هم مرتبه می باشند. هم چنین نشان خواهیم داد تنها گروهی که خودریختی های آن با خودریختی های گراف توان آن برابر است گروه کلاین از مرتبه ‎4‎ می باشد. پس از بررسی ساختار گراف های توان با ارائه تعریف جدیدی از گراف های توان به بررسی مجدد این گراف ها می پردازیم. به این صورت که در تعریف گراف توان یک گروه متناهی, توان را عدد ثابت ‎2‎ در نظر گرفته و گراف های حاصل از آن مورد بحث قرار می گیرد. بررسی این گرافها برای اولین بار به آن پرداخته شده، قضایایی مرتبط با این موضوع و مثالهایی جهت تشریح مطلب بیان می شود.

گراف توان غیرجهت دار از نیم گروه ، گراف غیرجهت داری است که مجموعه رئوس آن و دو راس با هم مجاور هستند اگروفقط اگر و یا باشد، برای عدد صحیح مثبت . در این پایان نامه ما کلاس نیم گروه های که در آن همبند یا کامل است را مشخص می کنیم. به عنوان یک نتیجه اثبات می کنیم که برای هر گروه متناهی همبند است و کامل است اگروفقط اگر گروه دوری از مرتبه یا باشد. بخصوص نیم گروه ضربی و زیرگروه اش ، که یک مولفه اصلی از است را بیشتر مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین ثابت می کنیم که کامل است اگروفقط اگر یا باشد که عدد اول فرما است. در کل تعداد یال های برای گروه متناهی را حساب می کنیم و این نتیجه را برای تعیین مقادیری از که به ازای آنها مسطح است، بکار می بریم. سرانجام نشان می دهیم برای هر گروه دوری از مرتبه بزرگتر یا مساوی ، همیلتنی است و مقادیری از که با ازای آنها دور همیلتنی ندارد را لیست می کنیم.

مفهوم حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏، برای اولین بار توسط وایتهد‎‎ و تانسور مربعی ناآبلی توسط کیت دنیس‎‎ معرفی ‎شد‎ و برخی از نظریه های اولیه ی تانسور مربعی ناآبلی در کارهای‎ سی. میلر‎‎ ‎‎مورد بررسی قرار گرفته است. ‎‎‎ بعد از آن ‎‎آر. برون و جی. لودی‎ ‏،هنگام بررسی نتایج قضیه ی‎‎ ون کمپن‎ ‏حاصل ضرب تانسور ناآبلی را به صورت نتیجه ای از این قضیه مورد توجه قرار دادند. در سال ‎1987 ‎ ‎ تعاریف و محاسباتی با جزئیات کامل درباره ی حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏ در مقاله ای بوسیله ای‎ آر. برون‏، دی‏، جانسون‎‎ ‎‎ و ای. ربرتسون‎‎‎‎ به چاپ رسید که بعدها باعث جلب توجه ریاضیدانان و این مفهوم به عنوان موضوعی در نظریه ی گروه ها گردید. در این پایان نامه مقاله ای تحت عنوان " برخی نتایج ساختاری روی تانسور مربعی ناآبلی گروه ها " از‎‎ آر. بلایتس‎‎ اف. فوماگالی‎‎ و‎‎ ام. مریجی‎ که‎ در سال ‎ 2009 ‎ ‎ به چاپ رسید‏ و ‎مرجع‎ این پایان نامه است‏، مورد بررسی قرار می گیرد. این پایان نامه شامل دو فصل است که فصل اول شامل‏، چهار بخش است که در بخش اول‏، تعاریف و قضایای مربوط به گروه‏‏، خواص جابجاگرها‏ و دنباله های دقیق که مورد نیاز هستند‏، جمع آوری شده است. در بخش دوم‏، ابتدا حاصل ضرب تانسوری معمولی گروه ها بیان می کنیم تا خواننده تفاوت آن را با حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏، بیشتر درک کند. سپس حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏ و خواص آن ها و تانسور مربعی ناآبلی بیان و قضایای مقدماتی اثبات شده و رابطه ی بین حاصل ضرب تانسوری معمولی و حاصل ضرب تانسور ناآبلی‏‏، بیان می شود. در بخش سوم‏، به بیان قضایای مرتبط با تانسور مربعی ناآبلی که در بخش های بعد به کار می رود‏، می پردازیم. در بخش چهارم‏، گروه های پوچتوان و حل پذیر و قضایای مربوط به آن ها را بیان می کنیم. فصل دوم شامل‏، سه بخش است که در بخش اول‏، ابتدا گروه خاصی از خارج قسمت گروه حاصل ضربی به نام ‎nu ‎(g)‎ ‎ معرفی می کنیم و روابط موجود و قضایای حاکم بر آن را بیان و اثبات می کنیم و در این بخش ارتباط بین تانسور مربعی را با زیرگروه نرمالی از ‎ ‎ u ‎(g)‎ بیان می کنیم که از آن برای یافتن کران هایی برای تانسور مربعی ‎ -p ‎ گروه ها استفاده خواهد شد. در بخش دوم‏، مربع خارجی ناآبلی گروه ها را مورد بررسی قرار می دهیم و در بخش سوم‏، کران هایی برای تانسور مربعی -p ‎ گروه ها و ضربگر شور -p ‎ گروه ها به دست می آوریم.

در این پایان نامه به مطالعه گروه های ‎‎‎2-انگل‎ نیرومند می پردازیم. ابتدا نشان می دهیم که هر گروه 2-‎انگل نیرومند 3 مولدی پوچتوان از رده حداکثر 2 است، موجب شگفتی است که این ‎‎نتیجه زمانی که تعداد مولدها بیش از سه باشد‏، برقرار نیست‏، در واقع نشان می دهیم مثال های نقض مینیمال بسیاری وجود دارند‏، که تعداد مولدها بیش از سه‏، ولی گروه پوچتوان از کلاس حداکثر 2 نیستند. سپس به رده بندی گروه های 2-انگل نیرومند مینیمال که پوچتوان از کلاس 3 هستند‏، می پردازیم‏. دراین جا مینیمال بودن به این معنی است که هر بخش نیرومند محض آن پوچتوان از کلاس حداکثر دو باشد. سپس نشان می دهیم که برای هر3-گروه نیرومند g با کلاس پوچتوانی 3، که این رابطه برای تقسیم مثال های نقض مینیمال در دو حالت زیر مورد استفاده قرار می¬گیرند. (i) مثال¬های مینیمال g که ، (ii) مثال های مینیمال g که . که‎‎‎‎ این جا فقط به بررسی مثال های مینیمال نوع (i) می پردازیم.

فرض کنیم l یک جبر لی و f یک جبرلی آزاد باایده آل r باشد. دراین صورت ضربگرc-پوچ توان از l برای 1? c به صورت زیراست (m (c)(l)=(r?? c+1(f))/ ? c+1(r,f). در این پایان نامه قصد داریم بابررسی بعد ضربگر c-پوچ توان کران هایی برای ضربگر c-پوچ توان جبرلی ازبعد متناهی بدست آوریم. سپس به مقایسه بعد در کران های بالای ضربگر c-پوچ توان بپردازیم.

در این پایان نامه ساختارهایی برای p-گروه آبلی g با در نظر گرفتن شرایطی برروی نماهای (s2m(g) ,g, m(g ارائه می شود. همچنین تعدادی نامساوی برای مرتبه و نما و تعداد مولدهای ضربگر c-پوچتوان p-گروه توانمند را بیان می کنیم. در واقع در اینجا تعدادی از نتایج مان و لبسکی به ضربگرهای پوچتوان تعمیم داده می شود و کران های بالایی برای مرتبه و نما و تعداد مولدهای ضربگر c-پوچتوان یک p-گروه توانمند d-مولدی چون gارائه می شود.

ماتسوموتو وایمایی یک الگوریتم متقارن جدید بر مبنای چند جمله ای های چند متغیره درجهت و روی میدان متناهی را شرح دادند، که بعدا شکسته شد. معادله میدان مخفی hfe یک سیستم رمز کلید عمومی است که در سال 1996 توسط پاترین ارائه شد که از ایده ماتسوموتو وایمایی پیروی کرد. در این پایان نامه، ما وجود سیستم های رمز چند متغیره از خانواده hfe را مرور و شرح می دهیم. این تحلیل رمز، سیستم های رمز خانواده hfe را با اسستفاده از حل دستگاه های چند متغیره از معادله ها می شکند. در این پایان نامه، ما یک جمله جدید و موثر بر روی این سیستم رمز، بر مبنای محاسبه پایه گروبنر با الگوریتم های سریع را ارائه می دهیم. ما همچنین خواص جبری معادله های بدست آمده به وسیله مثال هایی از رمزhfe رااز دیدگاه تئوری بحث می کنیم. بعلاوه می توانیم درجه ماکزیمال چند جمله ای های رخ داده در پایه گروبنر را محدود کنیم.

در این پایان نامه گروه های n- جایگشت پذیر(? گروه ها-p?_n)، گروه های n- بازنویسی پذیر(? گروه ها-q?_n) و همچنین گروه جبرهایی که در همانی چند جمله ای از درجه ی nصدق می کنند(? گروه ها-pi?_n ) را معرفی می کنیم و نشان می دهیم اگر g، یک ? گروه -q?_n باشد آنگاه g دارای یک زیرگروه مشخصه ی n است، به طوری که |g:n| و |n^ | هردو متناهی و توسط تابعی از n کراندار می باشند. این درواقع تعمیم قضیه بلایث می باشد که نشان داد اگر g، یک ? گروه -q?_nو f=fc(g)مرکز مزدوج متناهی گروه g باشد، آنگاه |g:f| و|f^ | هردو متناهی و |g:f| توسط تابعی از n کراندار است و نشان می دهیم که هر ? گروه -pi?_n یک ? گروه -p?_n است.

هفتاد سال پیش ریاضیدانی به نام هال مسأله ای مطرح کرد. " چه گروه هایی مانند g وجود دارند که برای آن ها گروه h هست بطوریکه ((g?h/(z(h ؟ " او متوجه شد که این گروه ها در طبقه بندی p-گروه ها نقش مهمّی دارند . به تبع هال وسنیور گروه هایی با این ویژگی را توانا نامیدند . اخیراً بسیاری از نتایج p-گروه های متناهی قابل توسیع به جبرهای لی پوچ توان شده است . به عنوان مثال مفهوم توانایی گروه ها را می توان برای جبرهای لی نیز تعریف کرد. دراین پایان نامه قصد داریم همه جبرهای لی پوچ توان توانا از بُعد متناهی را طبقه بندی کنیم که دارای زیرجبرمشتق از بُعد یک هستند.همچنین بطورغیرمسقیم محکی برای تشخیص جبرهای لی غیرتوانا می یابیم و نشان می دهیم که به ازای هر هم رتبه دلخواه حداقل یک جبرلی توانا از آن هم رتبه وجود دارد .

در این پایان نامه با استفاده از مفاهیمی چون جابجاگر پایه ای ، پایای بئر و محاسباتی در خصوص جابجاگرها ، ساختاری از پایای بئر گروه n-پوچتوان آزاد نسبت به چندگونای گروه های چند پوچتوان از کلاس ردیفی (c_2وc_1)، به ازای هر (c_2<5)و c_1>(c_2+1)n-(c_2+1،بیان شده است و فرمولی صریح برای پایای بئر گروه مورد نظر ارائه شده است. همچنین تصویر همریختی برای ضربگر c-پوچتوان حاصل ضرب لفظی خانواده ای از گروه هاتحت شرایط خاص بیان شده است. در ادامه فرمولی صریح برای ضربگر c-پوچتوان حاصل ضرب n-پوچتوان گروه های دوری ارائه شده است.