تمام حلقه ها در این رساله شرکت پذیر یکدار در نظر گرفته شده اند. حلقه ی آرمنداریز r را به این صورت تعریف می کنیم که برای چندجمله ای های (f(x و (g(x در حلقه ی [r[x به طوری که 0=(g(x)f(x نتیجه شود که برای هر i و j، b_ja_i=0 . همچنین توسیع های دیگری از حلقه ی آرمنداریز مانند حلقه های آرمنداریز ضعیف و آرمنداریز پوچ را معرفی کرده و خواص آن ها را مورد بررسی قرار داده ایم. از جمله قضایای اصلی که در این رساله بررسی شده اند، می توان اشاره کرد به این که هر حلقه ی کاهشی، آرمنداریز است. این مطلب توسط شخصی به نام آرمنداریز ثابت شد. همچنین در سال 2006 لیو نشان داد که حلقه ی r آرمنداریز ضعیف است اگر و تنها اگر برای هر n، حلقه ی ماتریس های n*n بالا مثلثی آرمنداریز ضعیف باشد. از دیگر قضایای مطرح شده در این رساله می توان به قضیه ی، i ایده آل آرمنداریز ضعیف حلقه ی r باشد در این صورت [i[x ایده آل آرمنداریز ضعیف حلقه ی [r[x است که توسط دکتر هاشمی اثبات شده اشاره کرد. در نهایت اصلی ترین قضیه ی حلقه های آرمنداریز پوچ را بیان می کنیم. اگر i ایده آل پوچ r باشد، آرمنداریز پوچ بودن حلقه ی r، آرمنداریز پوچ بودن حلقه ی r/i را به صورت دوطرفه ثابت می کند.

فرض می کنیم v را یک فضای برداری از بعد n روی یک میدان متناهی باشدو g زیرگروه گروه خطی عام باشد که روی حلقه منظم v عمل کند. عناصری از حلقه منظم که تحت این عمل ثابت می مانند را حلقه پایا می نامیم. همریختی انتقال را بین دو حلقه منظم و حلقه پایا تعریف می کنیم و نشان می دهیم که اگر مشخصه میدان مرتبه گروه را عاد کند برد همرختی انتقال ایده آل سره و ناصفر است. سپس نشان می دهیم : 1) حلقه پایا برای p-گروه روی میدان fp یک حلقه چندجمله ای است و بردهمریختی ایده آل اصلی می باشد. 2)برد همریختی انتقال برای گروه خطی عام وگروه خطی خاص ایده آل اصلی می باشد. 3)برد همریختی انتقال برای گروه های جایگشتی ایده آل رادیکال و برای گروه های جایگشتی دوری ایده آل اول می باشد.

حلقه ی پوچ-انژکتیو تعمیمی خاص از حلقه ی به طور اصلی انژکتیو است. همچنین حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو، تعمیمی از حلقه های تقریبا به طور اصلی انژکتیو و تقریبا min-انژکتیو می باشد. در این پایان نامه، ضمن معرفی ساختار جبری این حلقه ها، خواص و ویژگی های آنها را نیز مورد بررسی قرار می دهیم. به عنوان مثال خواص زیربرقرار است: در حلقه های تقریبا پوچ-انژکتیو راست، اگر ایده آلی با مولد پوچ توان، تصویری باشد، مولد آن خودتوان است. رادیکال اول حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو، زیر مجموعه ی ایده آل منفرد راست آن است. اگر حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو، ni نیز باشد، آنگاه مجموعه ی عناصر پوچ توان آن زیرمجموعه ی ایده آل منفرد راست آن است. از جمله مباحث دیگری که در این رساله به آن می پردازیم، منظم بودن حلقه ی تقریبا پوچ-انژکتیو است. اگر شرط زوج-گوسی راست بودن نیز اضافه شود، معادل بودن گزاره های زیر اثبات می شود. • هر r-مدول راست، تقریبا پوچ-انژکتیو است. • هر r-مدول دوری راست، تقریبا پوچ-انژکتیو است. • هر r-مدول ساده راست، تقریبا پوچ-انژکتیو است. • هر عضو از عناصر پوچ توان r، قویا منظم است. • حلقه ی n، r-منظم است.

در این رساله ابتدا به تعریف حلقه های بائر ، شبه بائر و p-q بائر می پردازیم و سپس با بیان تعاریفی از قبیل حلقه ی کاهشی و حلقه ی آلفا صلب و آلفا سازگار به ایجاد شرایطی می پردازیم که بتوانیم ویژگی های فوق را بر روی توسیع هایی ار این حلقه ها مانند سری های توانی لوران و سری های توانی هیلبرت و سری توانی اریب لوران و ... نیز اعمال کنیم و به عنوان نمونه ثابت کنیم که سه گزاره ی زیر معادلند: 1. حلقه ی سری توانی اریب [[r [[x ; alpha یک حلقه p-q بائر است . 2.حلقه ی سری توانی لوران اریب [[r [[x,x^-1 ; alpha یک حلقه p-q بائر است . 3.حلقه ی r یک حلقه p-q بائر است و هر زیر مجموعه شمارا از خودتوان های نیم مرکزی راست یک اتصال شمارای تعمیم یافته داشته باشد.

در این پایان نامه حلقه ها شرکت پذیر و یکدار هستند وهرجا که حلقه جابجایی باشد، ذکر می کنیم. ما به بررسی پوچ سازهای یک حلقه و حلقه ی چندجمله ای روی آن می پردازیم و نشان می دهیم رابطه ی دوسویی بین مجموعه ی پوچ سازهای یک حلقه و حلقه ی چندجمله ای روی آن وجود دارد اگر و فقط اگر حلقه، آرمنداریز باشد. همچنین رابطه ی دوسویی بین مجموعه ی پوچ سازهای ایده آل های یک حلقه و حلقه ی چندجمله ای روی آن وجود دارد اگر وفقط‍ اگر حلقه، شبه آرمنداریز باشد. بدین منظور به معرفی حلقه های آرمنداریز و شبه آرمنداریز می پردازیم وخواص آنها را بیان کرده و ارتباط آنها را با حلقه های دیگر نشان می دهیم و شرایطی را که تحت آن یک حلقه شبه آرمنداریز می شود، مورد بررسی قرار می دهیم.

در این رساله کلیه حلقه ها جابجایی و یکدار می باشند و تمامی مدول ها یکانی فرض شده اند و در مورد ویژگی های نظری جبر خاصی که جبر محتوایی نامیده می شود بحث می کنیم.فرض کنید r,mمدول وc تابعی از m,به ایدهآل هایی از rباشد.r,mمدول محتوایی نامیده میشود اگر برای هر xمتعلقm به داشته باشیم xمتعلق به c(x)m . بعد ویژگی های مقدماتی این مدول ها را بیان کردهثابت می کنیم لم ناکایاما به نوعی برای این مدول ها برقرار است.در نهایت جبر محتوایی را تعریف کرده و سرانجام جبر محتوایی ضعیف را معرفی می کنیم.

زیرمدول های ابتدایی تعمیمی از ایده آل های ابتدایی در نظریه ی حلقه ها هستند. در این رساله ابتدایی تعمیم از زیرمدول اول، ?? خواصآن بپردازیم. سپس تعریف ?? این زیر مدول و بررس ?? داریم به معرف ?? سع ?? دهیم. ثابتخواهیم کرد تحتچه شرایط ?? زیرمدول را ارئه م -rd مدولضربی و مدول ثانویه و زیرمدول خواهد بود. در ادامه بعد از تعریفمدول -rd زیرمدول ابتدایی، زیرمدول اول، ثانویه و خواهیم کرد چه رابطه ای بین مدول های ضربی ?? خواصاولیه آن، بررس ?? ضربی ابتدایی و بررس ضعیف و مدول های ضربی ابتدایی و مدول های ضربی ابتدایی توسعه یافته وجود دارد. دارای تجزیه ای به صورتاشتراکزیر m مدول -r از n در پایان ثابت خواهیم کرد زیرمدول ،?? نشان خواهیم داد روی دامنه ی پروفر با مشخصمتناه ?? باشد. و از طرف ?? مm مدول های ابتدایی تاست. ?? دارای تجزیه ابتدایی است و نمایش اشتراک کاهش یافته از زیرمدول های ابتدایی ی n واژه های کلیدی: زیرمدول اول، زیرمدول ابتدایی، مدول ثانویه، زیرمدول بطور نسبی بخش زیرمدول، مدول ضربی، مدول ضربی ابتدایی. ?rd پذیر یا

چکیده ندارد.

در این تحقیق نشان می دهیم که هرگاه a عضوی از r به طوری که برای هرزیرمجموعه ی نامتناهی x ازr و ax وxa دارای اشتراک ناتهی باشند آنگاه a یک عضومرکزی است. درادامه به بررسی دوشرط جابجاپذیری حلقه های نامتناهی می پردازیم. حلقه نامتناهی r رایک *-حلقه می نامیم هرگاه برای هردوزیرمجموعه نامتناهی xو y از r و xy,yx دارای اشتراک ناتهی باشند.ثابت می کنیم هر*-حلقه ی نامتناهی جابجایی است.

فرض کنیم g یک گروه باشد. گروه خودریختی های g را با (aut(g و گروه خودریختی های مرکزی g را با (autc(g نمایش می دهیم. خودریختی α از گروه g، یک خودریختی جابه جا شونده نامیده می شود هرگاه هرعضو گروه g با تصویرش تحت α جابه جا شود. مجموعه ی تمام خودریختی های جابه جا شونده را با a(g) نمایش می دهیم. در این پایان نامه خواهیم دید: 1) (a(g لزوماً یک زیرگروه از (aut(g نمی باشد. اما از ویژگی های جالبی برخوردار است. تحت شرایطی روی گروه g ، نه تنها (a(g یک زیرگروه از (aut(g می باشد بلکه (a(g)= aut(g . هم چنین وجود شرط ماکسیمال روی گروه های با مرکز بدیهی ایجاب می کند که (a(g بدیهی باشد. 2) یک خودریختی داخلی ، خودریختی جابه جا شونده است اگر و تنها اگر توسط یک عضو 2- انگل القا شده باشد. 3) گروه های ناآبلی وجود دارند که هر عضو گروه با تصویرش تحت هر درونریختی گروه جابه جا می شود . این گروه ها را e- گروه می نامیم. e- گروه ها به صورت حاصل ضرب نیم مستقیم محض تجزیه نمی شوند. 4) فرض کنیم g گروهی نا آبلی از مرتبه باشد که در آن p^3 یک عدد اول فرد است. اگر g شامل عضوی از مرتبه p^2 باشد آن گاه (a(g یک گروه آبلی مقدماتی از مرتبه p^2 است و در غیر این صورت (a(g یک گروه نا آبلی از مرتبه (p^2(p-1 می باشد.

فرض کنیم g یک گروه باشد. یک پوشش برای گروه g خانواده ی از زیرگروه های g می باشد به طوری که . پوشش هایی که ما در نظر می گیریم ، خانواده ای متناهی از زیرگروه هاست. در این پایان نامه نتایجی را که در رابطه با گروه g از روی خواص زیرگروه های به دست می آید، بررسی می کنیم. ما مطالب زیر را اثبات می کنیم : (1) هر یک از ها گروه انگل می باشد، اگر و تنها اگر مجموعه ی عناصر انگل g زیرگروهی از اندیس متناهی را شامل شود. (2) اگر زیرگروه مشتق هر یک از ها متناهی باشد، آن گاه g متناهی است. (3) هر یک از ها دوری می باشد، اگر و تنها اگر g دوری یا متناهی باشد. (4) هر یک از ها آبلی می باشد، اگر و تنها اگر g مرکز در متناهی باشد. (5) اگر مجموعه ی همه ی جا به جا گرها توسط تعداد متناهی زیرگروه دوری پوشیده شود، آن گاه g متناهی یا دوری است.