هدف از این پایان نامه تحقیق در مورد زیر مدول های خالص مدول های ضربی می باشد. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرد آمده است. در فصل دوم مفهوم مدول ضربی و خواص آن طی چندین قضیه آمده است . و در ادامه ما مفهوم زیر مدول خود تان، تعمیم یافته ایده ال خود توان را معرفی می کنیم. نشان خواهیم داد زیر مدول یک مدول ضربی با پوچ ساز خالص، خالص است اگر و فقط اگر ضربی و خود توان باشد. خواص و ویژگیهای گوناگون زیر مدول های محض مدول های ضربی را مطرح خواهیم کرد. رابطه بین مدول تخت و زیر مدول های خالص مدول ضربی از دیگر مباحث مطرح شده در این فصل می باشد.

پاسخ به این سوال که «اندیشه سیاسی آخوند ملامحمدکاظم خراسانی در عرصه مشروعیتِ حکومت در عصر غیبت چه بود، و این اندیشه چه نسبتی با مشروطه خواهی وی داشت؟»، مبتنی بر توجه به وجود دو مقام و مَنظَر در اندیشه ورزی سیاسی است: نتیجه یک مقام را «اندیشه سیاسی ثابت»، و نتیجه منظر دیگر را «الگوی سیاسی»، بیان می کنیم. «اندیشه سیاسی ثابت»، عبارت است از مجموعه گزاره های انتزاعی، کلی و دائمی در حوزه سیاست که اصالتا، ناظر به محیط سیاسی نیست؛ در مقابل، «الگوی سیاسی»، بخشی از اندیشه سیاسی است که با توجه به مبانی و اندیشه سیاسی ثابت، اصالتا در پاسخ به محیط سیاسی ارائه می شود. بر این اساس، اندیشه سیاسی ثابت آخوند خراسانی در حوزه مشروعیت حکومت، مراتب چهارگانه طولی حاکمیت: معصوم?، فقیه جامع الشرایط، شیعه عادل و مسلمان فاسق را تشکیل می دهد؛ در نتیجه، مرحله اول از حقّانیت حکومت در عصر غیبت، منحصر به فقیه جامع الشرایط است. آخوند خراسانی، از یک سو، با در نظر داشتن این اندیشه سیاسی ثابت درباره مشروعیت حکومت، و نیز توجه به برخی اصول دیگر اندیشه سیاسی ثابت (همچون: لزوم دفع و تقلیل ظلم، وجوب نفی سلطه کفار، وجوب امر به معروف و نهی از منکر، و حُسن مشورت)، و از سوی دیگر، با نظر به محیط سیاسی ایرانِ عصرِ مشروطیت، ضمن آن که تشخیص داد شرایط و امکان عملی حکمرانی فقهای جامع الشرایط در آن زمانه وجود ندارد، با برداشت و تفسیری اسلامی از قانون اساسی مشروطه ایران و متمم آن، به حمایت و سپس رهبری نهضت و نظام مشروطیت اقدام کرد. تفسیر اسلامی وی ـ و دیگر علمای مشروطه خواه ـ از نظام مشروطیت، موجب تولد الگوی سیاسی «مشروطه اسلامی» گردید. این الگو، در مقایسه با الگوی سیاسی «دو سویه ای حاکمیت» (که قبل از مشروطه برقرار بود)، ضمن کاستن ظلم و کم کردن اختیارات شاه و دربار، اولا، مردم را در نظام سیاسی و امور کشور وارد می نمود، و ثانیا، اختیارات فقها را بیشتر می کرد؛ چنان که به لحاظ تاریخی، در زمینه سازی الگوی سیاسی «جمهوری اسلامی» تأثیرگذار بوده است. آنچه از برخی أسناد استنباط شده است، و نیز گزارش ها و تحلیل هایی که بیان می کند: آخوند، مخالفِ انحصارِ مشروعیتِ حکومت در عصر غیبت به فقیهان بوده، (و از نظر وی، ملاک حقّانیت حکومت در این دوره، خواست مردم است)، از یک سو مبتنی بر خلط میان «اندیشه سیاسی ثابت» و «الگوی سیاسی»، و از سوی دیگر، دارای ایرادات سندی و دلالی می باشد؛ در نتیجه، نمی تواند فرضیه مخالفِ نوشتارِ حاضر را ثابت نماید.