پایداری اولام-گاوروتا-راسیاس معادله تابعی خطی را در فضاهای باناخ و ناارشمیدسی بررسی میکنیم.سپس نوع تعمیم یافته معادله تابعی خطی را در فضاهای برداری بررسی میکنیم.

فرض کنید $g$ یک گروه موضعا فشرده باشد.در این صورت $g$ دارای یک اندازه هار منحصر به فرد است. فضاهای توابع، که روی یک گروه موضعاً فشرده $g$ تعریف شده اند خواص قابل توجهی داشته و در آنالیز هارمونیک از اهمیت خاصی برخوردارند، از جمله $l^1(g)$, $l^p(g)$, $b(g)$ و $a(g)$. در این پایان نامه سعی شده است فضاهای تابعی متعارفی که بر یک گروه موضعاً فشرده تعریف شده اند بطور مشابه بر یک فضای همگن $g/h$ نیز تعریف شوند به گونه ای که ویژگی های فضای تابعی تا حد امکان حفظ شوند. $l^p(g)$ یک ساختار $l^1(g)$ -مدول چپ باناخ با یک همانی تقریبی دارد. همچنین، $l^1(g)$ یک ایده ال دو طرفه بسته از $m(g)$ می باشد،که $m(g)$ فضای تمام اندازه های مختلط رادون بر $g$ است. $b(g)$ یک جبر باناخ جابجایی است که $a(g)$ به عنوان یک ایده ال بسته از آن می باشد و همچنین $a(g)^*= ext{vn}(g)$. اکنون اگر $h$ یک زیر گروه بسته از گروه توپولوژیک موضعاً فشرده $g$ باشد، فضای همگن $g/h$ با توپولوژی خارج قسمتی یک فضای توپولوژیک موضعاً فشرده خواهد بود. فضای همگن $g/h$ یک اندازه بطور قوی شبه ناوردا مانند $mu$ دارد. می توان نشان داد $l^p(g/h,mu)$ یک ساختار $l^1(g)$ -مدول چپ باناخ دارد که دارای یک همانی تقریبی چپ نیز می باشد. بعلاوه در حالتی که $h$ فشرده و $mu$ بطور نسبی ناورداست، ضرب و برگشتی بر $l^1(g/h)$ تعریف می شود که آن را به یک جبر باناخ برگشتی تبدیل می کند. همچنین با در نظر گرفتن جبر فوریه و فوریه استیلیتجس که توسط ایمارد footnote{p.eymard} روی گروه $g$ معرفی شده است سعی داریم این دو مجموعه از توابع را روی فضای همگن $g/h$ به گونه ای تعمیم دهیم که تا حد امکان ویژگی هایی که برای جبر فوریه و فوریه استیلیتجس بیان کردیم قابل توسیع به این مجموعه های ساخته شده باشد.

در این پایان نامه به بررسی قابها در c-مدولهای هیلبرت می پردازیم و نشان می دهیم حاصلضرب تانسوری دو قاب از دو c-مدول هیلبرت نیز یک قاب برای حاصلضرب تانسوری این دو فضا خواهد بود.همچنین به تعریف یک قاب از زیرفضاها، حاصلضرب تانسوری تجزیه همانی و حاصلضرب تانسوری نمایش قابی در فضاهای هیلبرت می پردازیم.

در فضاهای هیلبرت با بعد متناهی به ارتباط بین دو قاب پرداخته، همچنین معیاری برای تشخیص بعد یک فضای هیلبرت با استفاده از قابها ارائه می دهیم، به علاوه روشی برای ساخت یک قاب چسبان ایزومتریک برای ‎‎$mathbb{c}^d$‎‎‎ یا ‎‎‎‎‎‎‎$mathbb{r}^d$ معرفی می نماییم‎. در انتها سعی می کنیم قضایای مربوط به قابها و پارسوال قابها را به میدان برداری ‎‎$‎mathbb{z}^n_2$‎‎‎ گسترش‎ دهیم‎،‎ اما با توجه به اینکه فضای ‎‎$‎mathbb{z}_2^n$‎‎‎ یک‎ فضای ضرب داخلی نیست، بنابراین بسیاری از تعاریف و قضایای مربوط به قابها در فضاهای هیلبرت در این فضا برقرار نمی باشد‎‎، که ما به بحث دربار? این تفاوتها می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی موجک ها و مقدماتی بر آن می پردازیم و در فصل های بعدی به معرفی انواع معادلات دیفرانسیل به خصوص معادلات سهموی و هذلولوی می پردازیم. و در نهایت روش حل این دسته از معادلات را با موجک هار بیان می کنیم. و نتایج عددی حاصل از روش معرفی شده را ذکر می کنیم.

در این پایان نامه، دو الگوریتم برای به دست آوردن تبدیل فوریه سریع جمعی روی میدان های متناهی از مشخصه ? را بررسی کردیم. الگوریتم اول در مورد به دست آورن تبدیلات فوریه سریع جمعی روی میدان های از مشخصه ? و از انداره دو به توان m که m دلخواه است. الگوریتم اول در مورد به دست آورن تبدیلات فوریه سریع جمعی روی میدان های از مشخصه ? و از انداره دو به توان m که m توانی از دو است.

فرض کنید a‎ یک جبر باناخ و ? یک تابعک خطی غیر صفر کراندار و ضربی روی a باشد گوئیم ‎a‎, ‎?‎ میانگین پذیر است هر گاه یک ‎ m عضو **a موجود باشد که ‎m(?)=1‎ و ‎m(f.a)=?(a)m(f)‎ وقتی f عضو **aو a عضو a باشد. دراین پایان نامه به مطالعه ی ‎?‎ـمیانگین پذیری جبرهای باناخ پرداخته و ارتباط آن با میانگین پذیری, حاصل ضرب تانسوری و مجموع مستقیم جبرهای باناخ را مورد بررسی قرار می دهیم. برخی خواص موروثی ‎?‎ـ میانگین پذیری نیز بیان می شود.

مفهوم میانگین پذیری ریشه در آغاز نظریه اندازه مدرن دارد. پس از سال ‎1940‎ میانگین پذیری به یک مفهوم مهم در آنالیز هارمونیک تبدیل شد. جانسن ‎ltrfootnote{johnson}‎ کسی بود که نظریه میانگین پذیری جبرهای باناخ را ابداع کرد. اما مفهوم میانگین پذیری ضعیف اولین بار توسط دیلز ‎ltrfootnote{dales}‎ و همکارانش در ‎cite{dales2}‎ برای جبرهای باناخ جابجایی معرفی شد و توسط جانسن برای حالت ناجابجایی گسترش پیدا کرد‎.‎ فرض کنید ‎$a$‎ یک جبر باناخ و ‎$x$‎ یک ‎$a$‎ -مدول باناخ دوطرفه باشد. ‎$a imes x$‎ به همراه هرکدام از نرم های ‎$$|(a,x)|_1=|a|+|x|$$‎ و ‎$$|(a,x)|_{infty}=max{|a|,|x|}$$‎ برای هر ‎$aina$‎ و ‎$xin x$‎، تبدیل به یک فضای باناخ می شود. این فضاهای باناخ به همراه ضربی که برای هر ‎$a,bin a$‎ و ‎$x,yin x$‎ به صورت ‎$$(a,x)(b,y)=(ab,acdot y+xcdot b)$$‎ تعریف می شود، تبدیل به جبرهای باناخ می شوند که آنها را توسیع های مدولی جبر باناخ ‎$a$‎ می نامیم و به ترتیب با نمادهای ‎$aoplus_1 x$‎ و ‎$aoplus_infty x$‎ نشان می دهیم. دیلز به همراه پروفسور قهرمانی و گرونبک ‎ltrfootnote{gr?nb?k}linebreak‎ میانگین پذیری ضعیف را در ‎cite{dales3}‎ مورد بررسی قرار داده اند، ولی میانگین پذیری ضعیف توسیع مدولی ‎$aoplus_1 x$‎ اولین بار در سال ‎2002‎ توسط ژانگ ‎ltrfootnote{zhang}‎ در ‎cite{zhang}‎ مورد مطالعه قرار گرفت.

بررسی نامساوی کشی-شوارتز درمدول های نیم ضرب داخلی روی *c-جبرها

در این پایان نامه قصد داریم به ازای مجموعه ی داده شده ی شامل اعداد حقیقی شرایطی را بیان کنیم، به طوری که تحت این شرایط تحقق پذیر باشد. یعنی ماتریسی نامنفی موجود باشد به طوری که طیف آن را تشکیل دهد. همچنین با استفاده ازقضیه براوئر شرایط کافی جدیدی را بیان می کنیم به طوری که نه تنها تحقق پذیر خواهد بود بلکه می توان ماتریس نامنفی متناظر با مجموعه ی داده شده را تشکیل داد به طوری که طیف این ماتریس باشد.

در این پایان نامه به مطالعه ی قاب های پیوسته و پایه های ریس پیوسته پرذاخته می شود. پایه های ریس پیوسته را معرفی کرده و شرایطی که یک قاب پیوسته، یک پایه ریس پیوسته می شود را مورد بررسی قرار می دهیم.

فضای اردوش فضای هیلبرت گویا است.اردوش ثابت کرد فضای مذکور یک بعدی است و با مربع خودش همسانریخت است که یک مثال مهم در نظریه بعد است. فرش سرپنسکی تعمیم یافته مجموعه کانتور درابعاد بالاتر است.در این پایان نامه نشان میدهیم گروه همسانریختی فرش سرپنسکی مجهز به توپولوژی فشرده -باز با فضای اردوش برای برای همه بعدها به جز بعد سه همسانریخت است.

چکیده ندارد.