در این پایاننامه به حل عددی معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم خطی و نیز دستهای از معادلات انتگرال غیرخطی با استفاده از موجک سینوس-کسینوس میپردازیم. این روش بر این اساس استوار است که هر کدام از جملات موجود در معادله را با استفاده از موجک سینوس-کسینوس به عنوان یک پایهی متعامد یکه، تقریب میزند و سپس معادله موجود را به دستگاهی از معادلات جبری تبدیل میکند. در مورد معادلات انتگرال- تقریب زده میشود که در آن y(t) ? (y tp + y0t ) (t) معادله به صورت y(t) دیفرانسیل خطی جواب (t) است. همچنین y(0) ? y0t (t) ماتریس عملیاتی انتگرال برای موجک سینوس-کسینوس و p بردار موجک سینوس-کسینوس میباشد. در این مسأله دستگاه معادلات حاصل یک دستگاه خطی است که با حل آن میتوان جواب تقریبی معادله را پیدا کرد. تقریب زده میشود که در آن y(t) ? y t (t) به صورت y(t) در مورد معادلات انتگرال غیرخطی، جواب بردار مجهولات است. در این مسأله دستگاه حاصل، یک دستگاه غیرخطی از معادلات است. با یافتن بردار y t مجهولات جواب تقریبی معادله به دست خواهد آمد.

سیستم دینامیکی زیر را درنظر بگیرید: x_ = f(x, ?), x ? rn, ?? rp است. در این پایاننامه آنالیز انشعابهای عددی سیستمهای دینامیکی پیوسته ?, x تابع همواری از f که کردن ?? بررسی میشود. این مطالعه شامل امتداد یکمنحنی از نقاط تعادلی و دایرههای حدی با یکپارامتر، پیدا و تعیین نقاط انشعاب هم بعد- 1 و امتداد آنها با دو پارامتر است. روی تمام این منحنیها نقاط انشعاب هم بعد- 1 و هم بعد- 2 به همراه ضرایب فرمهای نرمال آنها محاسبه میشود. برای آنالیز عددی انشعابها ازنرم است، استفاده میشود. بهعنوان کاربرد مدلهای matlab که یک بسته امتداد تعاملی matcont افزار 15 ] درنظر گرفته شده و برای مشخصکردن دینامیک ] 31 ] و لور 4 ] دینامیکی لورنز 1 84 ، بلوچ 2، استیلار 3 کلی این سیستمها چندین منحنی انشعاب را محاسبه میکنیم. این منحنیها با استفاده از تکنیک روشهای moore ? penrose عددی پیوسته [ 17 ]، مبتنی بر یک الگوریتم پیشگو-تصحیح کننده و روشهای است. همچنین امتداد نقاط انشعاب از نقاط تعادلی و دایرههای حدی براساس روشهای ماتریسهای بلوکی و سیستمهای مینیمم افزوده انجام میشود.

در این پایان نامه، چند گسترش خطی و غیر خطی از قضیه ی لکس میلگرام را ثابت می کنیم، و به کاربردهای آن در معادلات دیفرانسیل می پردازیم. این پایان نامه در پنج فصل تدوین شده است. در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی و قضایای اساسی پرداخته ایم. در فصل دوم با استفاده از قضیه ی لکس میلگرام وجود و یکتایی یک جواب ضعیف را نشان می دهیم همچنین روند حل معادلات دیفرانسیل را طبق این قضیه بیان می کنیم. در فصل سوم، با استفاده از قضیه ی شفر، قضیه هایی در مورد مسائل مقدار مرزی متناوب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شرایط ضربه ای را ثابت می کنیم. در فصل چهارم، ساختار تغییراتی یک معادله دیفرانسیل ضربه ای و نظریه ی نقطه ی بحرانی را برای به دست آوردن جواب های مسئله ی ضربه ای ارائه می دهیم و در فصل پنجم، مسائل مقدار مرزی نامتناوب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شرایط ضربه ای را ثابت می کنیم.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه، معادلات دیفرانسیل هیبرید که توسط دهاگ و لاکشمیکانتام در سال 2010 مطرح شد‏، ‏را مورد بررسی قرار ‏داده و نتایج وجودی و برخی نامساوی های اساسی و همچنین وجود جواب های ماکسیمال و مینیمال را برای این معادلات بیان می کنیم. سپس‎‎ نظریه معادلات دیفرانسیل هیبرید کسری که دربردارنده عملگر دیفرانسیلی ریمان-لیو‏ویل از مرتبه ‎1‎<q‎<2‎‎ ‏ ‎است‎‏، را مورد مطالعه قرار می دهیم. قضیه وجودی برای معادلات دیفرانسیل هیبرید کسری ‏را تحت ترکیب شرایط لیپ شیتس و کاراتئودوری ثابت می کنیم و برخی نامساوی های اساسی که برای اثبات وجودی جواب های اکسترمالی استفاده می شود‏، را اثبات می کنیم. ‎همچنین ما اصل مقایسه را اثبات می کنیم که برای مطالعه بیشتر رفتار کیفی جواب ها مورد استفاده قرار می گیرد. ‏در ادامه معادلات دیفرانسیل هیبرید کسری از مرتبه توزیعی وابسته به یک تابع چگالی نامنفی را معرفی می کنیم و وجود جواب‏، نامساوی های دیفرانسیلی‏، وجود جواب های اکسترمال و قضایای مقایسه را برای آن ها اثبات می کنیم.

َاین پایان نامه، به بررسی تعدادی از روش‎های موجود برای حل مسائل مقادیر ویژه با اندازه‎ بزرگ می‎پردازد و در چهار فصل تدوین شده است. در فصل اول به مفاهیم و قضایای اولیه و پایه ای که در فصول بعد مورد نیاز هستند، پرداخته می‎‎شود. در فصل دوم تعدادی از روش‎‎های کلاسیک موجود برای به دست آوردن مقادیر ویژه مطرح خواهد شد. در فصل سوم ابتدا روش‎‎های تکراری مبتنی بر زیر‎‎فضای کرایلوف را بررسی می‎کنیم. روش آرنولدی مهمترین روشی است که برای حل مسائل مقادیر ویژه با اندازه‎بزرگ برای ماتریس‎‎های نامتقارن به کار می‎‎رود و در این فصل به آن پرداخته می‎‎شود. سپس برای رسیدن به جواب بهتر، فرآیند‎‎های شروع مجدد روش آرنولدی مطرح می‎‎شوند. در فرآیند‎های شروع مجدد، دقیق‎تر شدن مقدار ویژه، وابسته به بهتر شدن بردار اولیه‎ای است که در آغاز روش از آن استفاده می‎‎شود. روش‎‎های شروع مجددی که در فصل سوم مطرح می‎شوند هر کدام در جهت بهبود بخشیدن به بردار اولیه هستند. در فصل چهارم روش‎‎های مطرح شده در فصل‎‎های دوم و سوم را به طور عددی بررسی و به مقایسه‎‎ی آن‎‎ها می‎َ‎پردازیم.‏

در این پایان نامه ابتدا چندجمله ای های برنشتاین را تعریف کرده و خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس با استفاده از این چندجمله ای ها به حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم می پردازیم. در ادامه چندجمله ای های برنشتاین را برای حل معادلات انتگرال ولترای نوع اول و دوم به کار می بریم. سرانجام معادلات دیفرانسیل مرتبه زوج را با استفاده از چندجمله ای های برنشتاین حل می کنیم و در هر یک از حالت های مذکور با بیان مثال های عددی می توان نتایج به دست آمده حاصل از به کارگیری چندجمله ای های برنشتاین را مشاهده نمود.

این پایان نامه شامل 4 فصل است. در فصل اول انواع مختلف معادلات انتگرال با ذکر مثال توضیح داده شده است. در فصل دوم چندجمله ای های برنشتاین تک متغیره و دو متغیره را معرفی می کنیم. سپس برای هر کدام از این چندجمله ای ها کران خطایی بدست می آوریم. همچنین قضیه همگرایی یکنواخت را برای آن ها ثابت می کنیم. در فصل سوم معادلات انتگرال ولترا، فردهلم و ولترا-فردهلم تک متغیره را با استفاده از چندجمله ای های برنشتاین حل می کنیم. سپس کران خطایی برای آن ارائه می دهیم. در فصل چهارم معادلات انتگرال ولترا، فردهلم و ولترا-فردهلم دو متغیره را با استفاده از چندجمله ای های برنشتاین حل می کنیم. سپس کران خطایی برای آن ارائه می دهیم. در این دو فصل، این روش را با ذکر چند مثال توضیح داده و نمودار جواب دقیق و تقریبی را برای هر کدام از این مثال ها با استفاده از برنامه maple رسم می کنیم. همچنین با استفاده از این برنامه، در هر یک از مثال ها خطا را محاسبه کرده و آن ها را در جدول هایی نشان می دهیم.

این رساله شامل جهار فصل است.در فصل اول به معرفی معادله حرارت پسرو و پیشرو و نحوه تبدیل دو معادله می پردازیم.فصل دوم،به دو روش تفاضل متناهی به نام های اویلر و کرانک - نیکلسون برای حل مسئله مقدار مرزی اولیه اختصاص داده شده است.در این فصل دقت دو روش برای زمان و مکان متفاوت سنجیده می شود و برای مقایسه کارایی دو روش مثال هایی را مطرح می کنیم.در فصل سوم راجع به روش تنظیم و مثال های قابل اجرا با این روش بحث می کنیم.اساس تکنیک تنظیم،اضافه کردن عبارتی به معادله حرارت به منظور منظم کردن آن است.در فصل چهارم به بررسی روش تجزیه دامنه غیر هم پوشان خواهیم پرداخت.در این فصل ضمن شرح روش ذکر شده به بیان و اثبات چند لم مرتبط با همگرایی روش می پردازیم و همگرایی و پایداری روش را اثبات می کنیم.

در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی می پردازیم. در فصل دوم دو روش چندگامی خطی شامل مشتق مرتبه اول را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در فصل سوم چهار روش چندگامی خطی شامل مشتق مرتبه دوم را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در فصل چهارم دو روش چندگامی خطی شامل مشتق مرتبه سوم را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در فصل پنجم روشهای چندگامی خطی برای مساله مقدار اولیه مرتبه دوم را در حالت کلی معرفی می کنیم و روش های چندگامی خطی بر مبنای مشتق گیری عددی را برای این نوع معادلات دیفرانسیل بیان می کنیم. در فصل ششم روشهای چندگامی خطی برای مساله مقدار اولیه مرتبه سوم را در حالت کلی معرفی می کنیم و روش های چندگامی خطی بر مبنای مشتق گیری عددی را برای این نوع معادلات دیفرانسیل بیان می کنیم