در این پایان نامه منظور از صفحه مطلق عام، فضای وقوعی است که با اصول موضوعه هلموت کارتسل مشخص شده است. واژه ی « عام » به معنای آن است که هیچ فرضی از پیوستگی در نظر گرفته نمی شود. نشان داده می شود که یک هندسه مطلق همواره دارای یک همنهشتی تکین، هذلولوی یا بیضوی است. سپس با این مفاهیم یک توصیف جامع برای حالات مختلف اندازه زاویه چهارم یک چهارگوش لامبرت-ساکری آورده می شود. به ویژه قضایای اول و دوم لژاندر به یک هندسه مطلق عام توسیع داده می شوند و یک اثبات مستقل از اصل ارشمیدس برای آن ها آورده می شود. در پایان چندین قضیه معادل برقراری اصل پنجم اقلیدس با استفاده از مثلث ها و چهارگوش های لامبرت-ساکری و با به کارگیری متر تعریف شده در صفحه مطلق خواهیم آورد.

هندسه ‎‎کهن ترین علم بنداشتی است که کتاب ‎"‎اصول"‎‎‎ اقلیدس برای آن نقطه ی عطف بسیار مهمی محسوب می شود. یکی از اصول معروف و مورد مناقشه ی این کتاب اصل پنجم اقلیدس است. حدود دو هزار سال طول کشید تا استقلال این اصل از اصول دیگر ثا‎‎بت شد و نقطه ی عطف دیگری با پدید آمدن هندسه های غیراقلیدسی در تاریخ هندسه رقم خورد.‎ اگر در هندسه ی اقلیدسی به جای بنداشت پنجم اقلیدس‎‎، بنداشت توازی هذلولوی گذاشته شود‏، هندسه ‎‎ی هذلولوی بدست می آید: بنداشت هذلولوی: یک خط ‎‎‎‎l‎‎ و یک نقطه ی‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ ‎‎‎‎p‎ غیر واقع بر ‎‎‎‎l‎ وجود دارند چنانکه دست کم دو خط موازی با ‎l‎ از نقطه ی ‎p‎‎ می گذرند. با توجه به اینکه برای هندسه ی هذلولوی ا‎لگوهای‎‎‎ زیادی وجود دارد‏، این هندسه سازگار است ولی از نظر شهودی به اندازه ی هندسه ی اقلیدسی ملموس نیست. مهم ترین موضوع مورد نظر ما مفهوم حجم در هندسه ی هذلولوی است. اگر به حجم به عنوان اندازه ی یک مجموعه ی اندازه ‎‎پذیر نگاه کنیم‏، برای محاسبه ی آن در حالت کلی از انتگرال گیری استفاده می کنیم. در این پایان نامه بر اساس این روش کلی به مسأله ی محاسبه ی حجم نواحی در هندسه ی هذلولوی پرداخته می شود. در فصل اول به بررسی 4 مدل مهم هندسه ی هذلولوی و تفاوت هندسه ی اقلیدسی با نااقلیدسی پرداخته ایم. در فصل چگونگی محسابه ی فرمول حجم در 5 دستگاه مختصاتی شامل: دستگاه مختصاتی برپایه ی دایره ی زمانی، مدل نیم فضای پوانکاره، دستگاه مختصات متعامد هذلولوی، دستگاه مختصات هذلولوی کروی، مدل بلترامی کلاین را ذکر کرده ایم. در فصل فرمول های تعدادی ازاشیای مهم هندسی را در هندسه ی هذلولوی را محاسبه کردیم و فرمول های بدست آمده توسط بولیایی و لباچفسکی را ذکر کرده ایم و درنهایت فرمول جدیدی برای محاسبه ی حجم چهاروجهی متعامد اثبات کردیم.‎

این پایان نامه مشتمل بر تعمیم نظریه ی رویه های دوار از فضای اقلیدسی سه بعدی به فضای اقلیدسی چهار بعدی است. بنابراین لازم است تعریف مناسبی از این رویه ها در e^4 ارائه شود. از جمله ابزار بکار رفته در این تعریف ها مبحث w-خم ها است که معرفی می گردد و مثال هایی برای آن مطرح می شود. همچنین نوع خاصی از رویه های دوار تعمیم یافته با نام ورونیس ارائه می شود. سپس انحنای گاوسی و انحنای میانگین آن محاسبه خواهد شد. در ادامه اثبات می شود که هر رویه ی دوار تعمیم یافته در e^4 رویه ی چن است. بعلاوه چند مثال از رویه های دوار تعمیم یافته در فضای اقلیدسی چهار بعدی جهت ملموس کردن مطالب مورد نظر در ادامه خواهد آمد. در انتها به محاسبه ی بیضی انحنای رویه های چن پرداخته می شود.

در این پایان نامه به بررسی رویه های خط کشی شده می پردازیم که در فضای اقلیدسی با بعد چهار نشانده شده اند. برای این منظور انحنای گاوسی و انحنای متوسط یک رویه پارامتری شده در فضای اقلیدسی با بعد چهار محاسبه و مثال ویژه ای از رویه خط کشی شده در e^4‎ ارائه خواهد شد. بعلاوه نشان داده می شود که تنها رویه های خط کشی شده مینیمال در ‎ e^4 همان تعمیم رویه های خط کشی شده در ‎e^4‎، یعنی رویه های مارپیچی راستگرد هستند. در ادامه کنج فرنه در فضای ‎e^4‎ مشخص و انحنای گاوسی برای چند رویه ی پارامتری شده محاسبه می شود. همچنین روابطی بیان خواهند شد که توسط آنها تعیین می شود که نقطه ی ‎ p ‎ از رویه ی خط کشی شده در ‎e^4‎ داخل، خارج و یا روی بیضی انحنا قرار دارد. به علاوه باتوجه به تعریف بیضی انحنا تعریفی برای رویه های ابرهمدیس ارائه می شود و شرط لازم و کافی برای اینکه رویه ی پارامتری شده، ابرهمدیس باشد اثبات خواهد شد. همچنین شرط لازم و کافی برای اینکه رویه خط کشی شده در (n>3)‎‎ ‎e^(n )‎ یک رویه چن باشد بیان می شود. در انتها شرط دیگری ارائه می شود که در آن بیضی انحنا دایره شود و یک رویه ابر همدیس مشخص

در این رساله، ‏‎‎بعد از یک مرور تاریخی بر هندسه ی نااقلیدسی، به یادآوری بنداشت های هیلبرت برای صفحه ی اقلیدسی می پردازیم. سپس، صفحات مطلق با رهیافت کارتسل یادآوری می شوند. صفحات مطلق عام، یعنی صفحات مطلق ناپیوسته و غیرارشمیدسی، به روش های گوناگونی رده بندی شده اند‎. در این رساله با معرفی مفهوم ‎ ‎ شبه-انتها یک رده بندی دیگر برای صفحات مطلق عام ارائه می کنیم. ‎یک شبه-انتها عبارتست از یک بافه از خطوط که دو به دو نقطه ی اشتراک و عمود مشترک نداشته باشند. اگر ? عدد اصلی تمام شبه-انتهاهایی باشد که یک خط مفروض در آن ها وجود دارد، در این صورت ‎? برای تمام خطوط برابر است و در نتیجه هر صفحه ی مطلق ?، دارای یک عدد اصلی منحصربه فرد ? است که می توان برای رده بندی صفحات مطلق به کار برده شود. برای حالت ? ? 0 همواره .? ? 2 به ویژه حالت ? = 2 را صفحات شبه-هذلولوی می نامیم و نشان خواهیم داد که صفحات هذلولوی، به ویژه مدل بلترامی-کلاین در این رده قرار می گیرند. ‏مفاهیم k-لوپ و جایروگروه معرفی می شوند. سپس با معرفی فضاهای جایروبرداری‏، رهیافت فضای جایروبرداری آبراهام اونگار معرفی می شود. فضاهای جایروبرداری در هندسه ی هذلولوی دقیقاً همان نقش فضاهای برداری را در هندسه ی اقلیدسی بازی می کنند. ‎‎هندسه ی هذلولوی کلاسیک (یعنی با در نظر گرفتن بنداشت پیوستگی) و چهار مدل معروف آن، مدل بلترامی-کلاین، مدل های پوانکاره و مدل لورنتس ارائه خواهند شد و نشان می دهیم که همه ی این مدل ها با هم یکرخت هستند. ‎‏ثابت‎ می شود که تمام مدل های این هندسه یکریخت‎ هستند.‎‎ آبراهام اونگار مفهوم جایرومساحت را بر اساس کاستی تعریف کرده است. اما با این رهیافت مساحت ویژگی جمع پذیری ندارد. رهیافت دیگر برای مساحت بر اساس ایده های کارتسل بر اساس کاستی قابل بیان است. در این رساله بر اساس رهیافت کارتسل‏، مدل بلترامی-کلاین را به صورت تحلیلی روی دیسک باز واحد از اعداد مختلط بیان کرده و به ویژه فرمولی برای بازتاب نقطه ای و جمع نسبیتی اینشتین به روش هندسی به دست می آوریم‎. همچنین با ترکیب رهیافت های اونگار و کارتسل یک ‏روش دقیق برای کاستی و مساحت در مدل بلترامی-کلاین خواهیم آورد. با توجه به ویژگی کاستی‏، با این رهیافت مساحت خاصیت جمع پذیری دارد. در ادامه با به کار بردن یکریختی بین میدان های مرتب (r,+,.) و ((-1,1),?,?) به مثلثات در مدل بلترامی-کلاین می پردازیم که به طور کامل شبیه مثلثات در هندسه ی اقلیدسی است. در پایان برخی کاربردهای هندسه ی هذلولوی را در نظریه ی نسبیت خاص اینشتین بیان می کنیم.

یکی از مفاهیم جدید و کاربردی در جبر محاسباتی مفهوم پایه های تودرتو است. پایه های تودرتو نوع خاصی از پایه های گربنر با خواص ترکیبیاتی اضافی هستند، که نه تنها نسبت به یک ترتیب تک جمله ای بلکه نسبت به یک تقسیم تودرتو تعریف می شوند. ایده اساسی پشت پایه های تودرتو این است که به هر مولد در پایه مجموعه ای از متغیرهای ضربی را نسبت می دهند که این ارجاع منجر به تعریف تقسیم تودرتو می شود. هر مولد تنها مجاز است توسط چندجمله ای های بر حسب این متغیرها ضرب شود. یک اثر این تحدید یکتا بودن نمایش استاندارد تودرتو است که پایه های گربنر عادی دارای این ویژگی نیستند.

در این پایان نامه ابتدا شبکه ، حلقه ، خودریختی ، ساختارحلقوی و... معرفی می شوند و سپس به بررسی خواص خودریختی های ساختارهای حلقوی بیشین پرداخته می شود.