فرض کنیم g یک گروه و n زیر گروه نرمال آن باشد، در این رساله با متمرکز شدن روی جفت (g, n)به بررسی جفت های توانا، کامل و پوچ توان می پردازیم. در ابتدا برای یک جفت از گروه ها مفهوم مرکز دقیق را معرفی می کنیم و نشان می دهیم این زیرگروه یک محک برای توانا بودن یک جفت از گروه ها مشخص می کند. به علاوه این محک را با محک ارائه شده توسط الیس در[6] مقایسه می کنیم. در انتها طبقه بندی کاملی برای جفت های آبلی متناهیا تولید شده توانا ارائه می دهیم. لدی در [19] مفهوم کامل بودن را برای یک جفت از گروه ها معرفی کرده است. ما در این رساله یک شرط لازم و کافی برای کامل بودن یک جفت به دست می آوریم. هم چنین یک گسترش مرکزی نسبی برای یک جفت کامل می یابیم که جفت پوششی برای آن است و نیزعضو جهانی در رسته rce (g, n) است. نهایتا مفاهیم جفت پوششی و جفت کامل را به چند گونای پوچتوان تعمیم می دهیم. در پایان مفاهیم پوچتوانی، سری های مرکزی بالایی و پایینی، به طور باقیمانده ای پوچتوان و هاپفین را برای یک جفت از گروه ها تعریف می کنیم که منجر به نتایج جدیدی در بحث گروه های پوچ توان می شود. هم چنین نشان می دهیم جفت های به طور باقیمانده ای پوچتوان از گروه های متناهیا تولید شده هاپفین است.

کوپربرگ این سوال را مطرح کرد که آیا منحنی سینوسی توپولوژیدان ها شبه انقباض پذیر است؟ در سال 1992 کاتسورآ شبه انقباض ناپذیری منحنی سینوسی توپولوژیدان ها را نسبت به خود فضا اثبات کرد و در سال1994 ، دبسکی شبه انقباض ناپذیری منحنی سینوسی توپولوژیدان ها را اثبات کرد و به این سوال باز جواب داد. در سال 2007 ریپووز، ادا و کریموف بر پایه منحنی سینوسی یک ساختار تابعگونی از فضاهای شبه مخروطی ارائه دادند. این تابعگون از رسته فضاهای توپولوژی نقطه دار همبند مسیری به زیررسته فضاهای همبند ساده می باشد. اثر این ساختار بر یک پیوستار پئانو n- بعدی، یک پیوستار پئانو (n+1)- بعدی همبند ساده انقباض ناپذیر شبه حجره می باشد.

فرض کنیم یک فضای توپولوژی نقطه دار باشد. گروه بنیادین توپولوژیکی آن را با نماد نشان می دهیم. در این پایان نامه ابتدا خواص مقدماتی گروه های بنیادین توپولوژیکی بررسی می شود. از جمله نشان داده می شود که ‎ ‎تابعگونی از رسته فضا های توپولوژی نقطه دار به رسته شبه گروه های توپولوژیکی است. ‎برای مطالعه خواص بیشتر گروه های بنیادین توپولوژیکی ثابت می شود که هر گروه بنیادین توپولوژیکی مانند به صورت یک گروه خارج قسمتی توپولوژیکی از است که در آن نماد های‎ ‎و ‎ ‎به ترتیب مربوط به فضای طوقه ای و فضای تعلیق می باشند. سپس ثابت می شود که یا یک گروه توپولوژیکی نیست یا اگر باشد یک گروه توپولوژیکی آزاد مارکف روی است. در انتها شرایط معادلی برای آنکه یک گروه توپولوژیکی هاسدورف باشد ارائه می گردد. با استفاده از مطالب فوق، دسته مثال هایی ارائه می گردد تا نشان داده شود که گروه های بنیادین توپولوژیکی لزوما گروه های توپولوژیکی نیستند. لازم به ذکر است که این مثال ها با مثالی که قبلا توسط فابل ارائه گردید، متفاوتند.

فضای قابل توجه گوشواره هاوایی، 1h، زیرفضایی از صفحه 2r، متشکل از تعداد شمارایی دایره تودرتو است که در مبدأ برهم مماسند. ابتدا گروه های همولوژی رده ای از فضاهای توپولوژیک یک بعدی شامل گوشواره هاوایی بررسی می شود و ثابت می شود اولین گروه همولوژی گوشواره هاوایی یکریخت با است و گروه های همولوژی مراتب بالاتر از یک آن بدیهی است. درادامه گوشواره هاوایی با بعد n?n، nh، به شکل زیرفضایی از 1+nr، شامل کره های n-بعدی تودرتو که در مبدأ برهم مماسند، معرفی می شود. سپس گروه های هموتوپی رده ای از فضاهای توپولوژیک شامل گوشواره های هاوایی بررسی می شود که نتیجه آن شناخت ساختار گروه های هموتوپی گوشواره هاوایی n-بعدی است . ثابت می شود برای گوشواره هاوایی n-بعدی، اگر1-n ?m ?1، (nh)m? گروه بدیهی است و در حالت n=m در یکریختی?z ?(nh)n? صدق می کند. بعد از معرفی گوشواره هاوایی n-بعدی، به عنوان فضایی جدید، گروه هاوایی n-بعدی برای هر فضای نقطه دار، (0x,?)nh، به عنوان ابزاری جدید در شناخت فضاها، برابر با مجموعه تمام رده های هموتوپی نگاشت ها از ( o,nh) به (0x,?) تعریف می شود. عمل این گروه با استفاده از عمل n-امین گروه هموتوپی ساخته شده است که باعث می شود ساختار گروه هاوایی با گروه هموتوپی مرتبط باشد. به عنوان مثال در فضاهای شمارای اول و n-همبند ساده موضعی یکریختی (0x¸?)n?w??(0x¸?)nh برقرار است که در آن (0x,?)n?w? نشان دهنده گروه حاصل ضرب مستقیم ضعیف خانواده ای شمارا از نسخه های یکریخت با گروه (0x¸?)n? است. در فصل پایانی گوشواره هاوایی نامتناهی بعد به صورت الحاق ضعیف گوشواره های هاوایی متناهی بعد تعریف می شود. به دنبال آن گروه هاوایی نامتناهی بعد معرفی می شود که عمل آن از عمل گروه های هاوایی متناهی بعد برگرفته شده است. با نگاهی به نتایج حاصل، تفاوت هایی با گروه های مشابه به چشم می آید که امید می دهد این ابزار جدید، راه های تازه ای در شناخت فضاها باز کند.

از آنجایی که رده بندی پوشش ها در نظریه ی پوشش های کلاسیک برای فضاهایی با رفتارهای خوب موضعی یعنی همبند مسیری موضعی و همبند ساده نیم موضعی انجام می شود، هنگام ظاهر شدن رفتارهای موضعی پیچیده، استفاده کردن از برخی نتیجه های این نظریه ناممکن است. از جمله می توان به وجود فضای پوششی جهانی اشاره کرد که شرط لازم و کافی شناخته شده برای وجود آن همبند مسیری موضعی و همبند ساده نیم موضعی بودن فضا است. ما در این رساله با بررسی پوشش های برخی از این فضاها که رفتار موضعی خوبی از خود نشان نمی دهند، پوشش های جدیدی معرفی نموده، بعد از نمایش اینکه آن ها فضاهای پوششی جهانی هستند، شرط لازم و کافی برای وجود چنین فضاهای پوششی جهانی ارائه می نماییم. همچنین، با استفاده از گروه هایی به نام اسپنیر که نخستین بار در کتاب خود او ( البته نه به این نام ) به کار گرفته شده است و با معرفی فضاهایی به نام فضای اسپنیر، اثبات می کنیم که همه ی فضاهای پوششی جهانی فضای اسپنیر هستند و بدین شکل فضای پوششی جهانی هر فضای دلخواه شناخته می شود. یکی دیگر از مفاهیمی که ارتباط عمیقی با نظریه ی پوشش ها دارد و اخیراً هم مورد توجه بسیاری از ریاضی دانان قرار گرفته است، گروه بنیادی توپولوژی است. از آنجایی که تناظر یک به یکی بین زیرگروه های باز این گروه ها که در ابتدا به عنوان گروه های توپولوژی شناخته می شدند و پوشش های یک فضا وجود دارد، نتیجه هایی نیز با استفاده از پوشش های معرفی شده در این رساله برای گروه های بنیادی توپولوژی بدست می آوریم. البته ابتدا با معرفی اشیاء خارج قسمتی در رسته ی ‎$h$‎-گروه ها و تعمیم نتایجی از رسته ی گروه های توپولوژی به این رسته، با دیدگاه دیگری به مبحث توپولوژی دار کردن گروه بنیادی می پردازیم. سپس اثبات های جدیدی از برخی نتیجه های قدیمی، ارائه داده و نتیجه های جدیدتری را نیز بدست می آوریم. در فصل پایانی این رساله، کاربردهایی از آنچه که در فصل های پیش ارائه شده در نظریه ی گروه های بنیادی توپولوژی بیان می کنیم که از جمله می توان به یافتن شرط هایی اشاره کرد که موجب ‎$t_1$‎ شدن توپولوژی گروه بنیادی می شود.

در این پایان نامه به کمک مفاهیمی نظیر p-گروه های منظم و گروه های توانا،p-گروه ها راتا حد ایزوکلینیکی طبقه بندی خواهیم کرد.

اهمیت طوقه های کوچک در نظریه ی فضاهای پوششی توسط بردسکی، دیداک، لابز و میترا مشخص گردید.یک طوقه ی کوچک حول نقطه ی x در فضای x ، طوقه ای است که هر همسایگی از آن شامل نمایشی از طوقه کوچک باشد. فضای طوقه کوچک فضایی غیر همبند ساده است که هر طوقه در آن کوچک است.وجود طوقه ی کوچک در یک فضا سبب از بین رفتن خاصیت همبند ساده نیم موضعی آن فضا و به دنبال آن غیر هاسدورف هموتوپیکی بودن فضا می گردد.در این رساله علاقه مند به مطالعه ی طوقه کوچک،فضاهای غیر هاسدورف هموتوپیکی و پوشش چنین فضاهایی هستیم. از این رو فضای طوقه کوچک نیم موضعی را به عنوان شرط لازم و کافی بر وجود پوشش جهانی از فضای غیر هاسدورف هموتوپیکی معرفی خواهیم کرد و اثبات می کنیم هر فضای طوقه کوچک نیم موضعی مانند x، فضای طوقه کوچک است اگر و تنها اگر هر پوشش از x بدیهی گردد، اگر و تنها اگر گروه بنیادین توپولوژی x ، گروه توپولوژی ناگسسته باشد.

در این پایان نامه فضاهای جدیدی تحت عنوان فضاهای طوقه کوچک مورد مطالعه قرار می گیرند. فضای جزایر همساز در یک نقطه دارای طوقه کوچک می باشد که با استفاده از این فضا، فضای m -چین خورده ای ساخته می شود که در هر نقطه دارای طوقه کوچک می باشد. مفهوم ط.قه کوچک،مفهومی در مقابل فضاهای هاسدروف هموتوپیکی و همبند ساده نیم موضعی می باشد. چون فضاهای طوقه کوچک همبند ساده نیم موضعی نیستند دارای فضای پوشش جهانی کلاسیک نیستند. در این پایان نامه فضاهای پوشش جهانی جدیدی برای این نوع فضاها مورد مطالعه قرار می گیرند. بعلاوه در این پایان نامه انواع فضاهای هاسدروف هموتوپیکی و ارتباط آن ها با فضاهای طوقه کوچک بحث و بررسی می گردند. در انتها مفاهیم جدیدی تحت عنوان کوچک بودن هموتوپیکی و نزدیک بودن هموتوپیکی مورد مطالعه قرار می گیرند که تعمیمی از مفهوم کوچک بودن طوقه ها برای رده ای از نگاشت ها می باشند.

بورسوک طی کنفرانسی که در سال 1979 برگزار شد، مقاله ای را تحت عنوان «چند مسئله در نظریه شکل درباره فضاهای متریک فشرده» ارائه داد و در آن سوالاتی مطرح کرد که در این پایان نامه، به چند نمونه از آنها می پردازیم. یکی از این سوالات این است که آیا یک چندوجهی با ظرفیت نامتناهی و عمق متناهی وجود دارد؟ کلدزیزیک در مقاله های قبلی خود، ثابت می کند که چندوجهی ای با گروه بنیادین چنددوری با ظرفیت نامتناهی وجود دارد و به دنبال آن حدس می زند که در صورت وجود چندوجهی های با گروه بنیادین چنددوری و با ظرفیت نامتناهی، آنها دارای عمق متناهی هستند. می توان گفت که چندوجهی p، عمق متناهی دارد اگر و فقط اگر یک عدد صحیح k وجود داشته باشد به طوری که هر دنباله ?…?sh(x1)?sh(p) … sh(xi)شامل حداکثر k شکل مختلف باشد. در این پایان نامه، به بحث و بررسی مقاله ای از کلدزیزیک که در سال 2005 منتشر شده، می پردازیم. در این مقاله، او ثابت می کند که برای چندوجهی های با گروه بنیادین چنددوری بوسیله متناهی، هیچ دنباله نامتناهی از نوع بالا وجود ندارد و به دنبال آن حدس می زند که برای یک چندوجهی p با گروه بنیادین چنددوری بوسیله متناهی، یک عدد صحیح k وجود دارد به طوری که هر دنباله …?xi?…?x1?p شامل حداکثر k نوع هموتوپی مختلف است. به عبارتی، حدس می زند که چندوجهی های با گروه بنیادین چنددوری بوسیله متناهی، دارای عمق متناهی هستند.

ما در این رساله با بررسی پوشش های برخی از این فضاها که رفتار موضعی خوبی از خود نشان نمی دهند، پوشش های جدیدی معرفی نموده، بعد از نمایش دادن اینکه آن ها فضاهای پوششی جهانی هستند، شرط لازم و کافی برای وجود چنین فضاهای پوششی جهانی ارائه می نماییم. همچنین، نشان می دهیم گروه بنیادین شبه توپولوژیک فضایی که چنین پوششی دارد، یک گروه توپولوژیک است و بدین وسیله دسته جدیدی از فضا های توپولوژیک که گروه بنیادین متناظر آنها گروه توپولوژیک است را معرفی می کنیم. در سال ‎2002‎ بیس با استفاده از توپولوژی که بر روی گروه بنیادین قرار داد، یک رده بندی از پوشش های همبند برای فضا های توپولوژیک ارائه کرد. در واقع او نشان داد برای فضای همبند و همبند مسیری موضعی x یک تناظر یک به یک بین رده های هم ارزی پوشش های همبند ‎x‎ و زیرگروه های باز گروه بنیادین متناظر با فضای x‎ برقرار است. در این رساله ابتدا با مطالعه ی این توپولوژی با مثالی نشان می دهیم که رده بندی فضا ها ی پوششی ارائه شده توسط بیس نادرست است. همچنین اصلاح شده ی این رده بندی را بیان و اثبات می کنیم. در فصل پایانی این رساله به مطاله ی گروه بنیادین شبه توپولوژیک فضاهای خارج قسمتی می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا مفهوم cf-گروه تعریف و رتبه ی نمایی cf- گروه ها مورد بررسی قرار می گیرد. در حالت خاص رتبه ی نمایی p-گروه های متناهی از رده ی بیشین و رده ی حداکثر 5 مشخص می شود. در نهایت با استفاده از نتایج به دست آمده کران بالایی برای نمای ضربگر شور p-گروه های متناهی از رده ی حداکثر 4 به دست می آید.

در این پایان نامه p-گروه های توانمند را مطالعه می کنیم. هم چنین نامساوی هایی را برای مرتبه، نماو تعداد مولدهای ضربگر c-پوچ توان(پایای بئر نسبت به چند گونای گروه های پوچ توان از رده حداکثر c) از p-گروه های توانمند مورد بررسی قرار می دهیم، که در واقع تعمیمی از نتایج لوبوتسکی و مان به ضربگر c-پوچ توان می باشد. سپس با ارائه ی چند مثال، دقت نتایج و بهبود بعضی از نامساوی های قبل را نشان می دهیم.

در این مقاله مشخصات کاملی از فضاهای پوششی را ارایه و پوشش جهانی و پوشش جهانی تعمیم یافته را معرفی می کنیم. در حقیقت اگر فضای پیرافشرده و هاسدورف x یک پوشش جهانی کلاسیک بپذیرد آنگاه همریختی طبیعی معرفی شده از گروه بنیادین به اولین گروه هموتوپی شکل یک یکریختی است. در ادامه عکسی برای این مطلب اریه می کنیم: یک فضای توپولوژیکی همبند مسیری x یک پوشش جهانی تعمیم یافته می پذیرد اگر همریختی بالا یک به یک باشد. یک شرط لازم برای ساختار استانداردی که منجر به هاسدورف هموتوپیکی باشد. همچنین کافی x پوشش جهانی تعمیم یافته می شود این است که شمارش پذیر باشد. لذا این مقاله عمدتا بدنبال یافتن شرایطی است که تحت است اگر آنها، فضاهایی با گروه بنیادین ناشمارا پوششجهانی تعمیم یافته می پذیرد. همچنین خواهیم دید،خاصیت یکتایی مسیر بالابر، نقش بسیار مهمی در این راستا ایفا می کند.

فضای x یک فضای پئانو گوییم هرگاه همبند و همبند مسیری موضعی باشد. در این پایان نامه ابتدا به چگونگی ساختن فضای پئانو و خواص آن می پردازیم و در نهایت بررسی می کنیم که کدام یک از خواص اساسی پوشش های کلاسیک در مورد آن برقرار است.

در این رساله به مطالعه ی رفتار گروه های هموتوپی شبه توپولوژیکی فضاهای حدمعکوس می پردازیم. به طور دقیق تر شرایطی را ارائه خواهیم داد که تحت این شرایط گروه های هموتوپی فضاهای حد معکوس و به طور خاص تر فضاهای حاصلضرب، گروه توپولوژیکی شوند. همچنین شرایطی را برای شمارایی گروه های هموتوپی ارائه خواهیم داد‎. یک توپولوژی روی گروه های هموتوپی شکل ‎ قرار خواهیم داد که آن را با ? ?_k^top (x,x)‎ نشان می دهیم و ثابت می کنیم که ? ?_k^top (x,x)‎ یک گروه توپولوژیکی هاسدورف است و برخی ویژگی های توپولوژیکی این گروه توپولوژیکی را بدست می آوریم. همچنین مثالی ارائه خواهیم داد که نشان می دهد ? ?_k^top (x,x)‎ می تواند از یک نوع شکل بودن ‎x‎ و ‎y‎ را مشخص کند در جایی که ? ?_k ‎ نمی تواند‎. همچنین وجود حاصلضرب را در رسته ی شکل ضخیم برای فضاهای هاسدورف فشرده ثابت می کنیم. در این جا ثابت خواهیم کرد اگر حاصلضرب دو فضای ‎x‎ و ‎y‎ یک ‎-hpol‎توسیع اختیار کند که حاصلضربی از ‎-hpol‎توسیع های فضاهای ‎x‎ و ‎y‎ باشد، آن گاه ‎x× y‎ یک حاصلضرب در رسته ی شکل ضخیم است. در نهایت نشان می دهیم برای هر ‎k?n‎، ‎-k‎امین گروه های شکل ضخیم از فضاهای هاسدورف فشرده با حاصلضرب جابه جا می شوند.

هدف از این پایان نامه مطالعه تأثیر مرکزساز(?) ‎c_g‎ روی زیرگروه جابه جاگر ‎[g, ?]‎ است, به خصوص زمانی که ‎g‎ گروهی چنددوری یا دوآبلی ‏و ? ‎ یک خودریختی از گروه ‎g‎ باشد‏.‎‎ فرض کنید ‎g‎ یک گروه چنددوری و‎ ? یک خودریختی از ‎g‎ باشد. در این پایان نامه نشان داده می شود که اگر ? ‎ از مرتبه ی ‎2‎ و ‎(?) ‎c_g‎ متناهی باشد آنگاه ‎g/[g, ? ‎] و ‎ ‎?[g,? ‎] ?^?نیز متناهی اند. همچنین ثابت می شود که اگر‎g‎ یک گروه دوآبلی و ‎ ? یک خودریختی از مرتبه ی ‎n‎ و ‎(?) ‎c_g‎ یک گروه تناوبی متعلق به t_?‎ باشد آنگاه ‎ g/ [g, ?] ‎ متعلق بهa ‎t_? e_n‎ است. در مرحله ی بعد نشان داده می شود که اگر همین خودریختی از مرتبه ی عدد اول ‎p‎ باشد آنگاه ‎[g, ?]‎ متعلق بهn_p ‎ t_?است و با فرض اینکه ‎ ? بدون نقطه ی ثابت باشد, ‎‎[g, ?]پوچ توان از رده ی حداکثر ‎p‎ است. ‎علاوه بر این به بررسی نتایج متعدد از مقالات مختلف درباره ی تأثیر خودریختی های برگشتی یک گروه و مرکزساز آن روی ساختار گروه می پردازیم. در نهایت مثال هایی از زیرگروه های گروه خطی عمومی (یکریخت با گروه چهارگان ها) و گروه ماتریس ها با درایه هایی در حلقه ی چندجمله ای لورنت و همچنین گروه ماتریس ها با درایه هایی در z[w] در مورد مطالب مختلف این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرند, که نشان می دهند اگر در برخی از قضایای ارائه شده, بعضی شروط حذف گردند, نتیجه ی موردنظر برقرار نخواهد بود.

فرض کنیم g یک p- گروه متناهی و n یک زیر گروه نرمال آن باشد. در این پایان نامه ابتدا جفت گروه متناهی (g,n) و ضرب گر شور جفت گروه (g,n) تعریف شده وکران هایی برای نمای ضرب گر شور (m(g,n بدست می آید. همچنین نشان داده می شود اگر جفت (g,n) از کلاس پوچ توانی حداکثر p-1 باشد ، آن گاه نمای m(g,n) نمای n را می شمارد. در ادامه مفهوم p- گروه توانمند را تعریف کرده و نشان می دهیم اگر n به طور توانمند در g نشانده شود، آن گاه نمای m(g,n) نمای n را می شمارد. همچنین کران های معرفی شده در این قسمت برخی از بهترین کران های معرفی شده در حالت ضرب گر معمولی را بهبود می بخشد.

در این پایان نامه چندین نتیجه در رابطه با وجود فضاهای پوششی جهانی برای فضاهای متریک تفکیک پذیر به اثبات می رسند. برای شروع، چند شرط هموتوپیکی ارائه می گردند و ثابت خواهد شد که این شرایط با وجود فضای پوششی جهانی معادل اند. با استفاده از این شرایط معادل ثابت می شود که هر فضای متریک، تفکیک پذیر، همبند، همبند مسیری موضعی که گروه بنیادینش گروه آزاد باشد یک فضای پوششی جهانی می پذیرد. بعنوان یک کاربرد از این نتایج می توان نتیجه ی اصلی را اثبات کرد که بیان می کند یک زیرمجموعه ی همبند، همبند مسیری موضعی از صفحه ی اقلیدسی، یک فضای پوششی جهانی می پذیرد اگر و تنها اگر گروه بنیادینش آزاد باشد، اگر و تنها اگر گروه بنیادینش شمارا باشد‎.‎ علاوه براین, ما چند لم از پایان نامه را برای حالت ‎$n$‎ گسترش می دهیم و نشان می دهیم که هر فضای پوششی از یک فضای ‎$-n$‎همبند ساده ی نیم موضعی, ‎$ngeq 2$‎, یک فضای ‎$-n$‎همبند ساده ی نیم موضعی است. همچنین هر ‎$-pi_n$‎توکشیده ی همبند از یک فضای ‎$-n$‎ همبند ساده ی نیم موضعی یک فضای ‎$-n$‎ همبند ساده ی نیم موضعی است.

بررسی فضاهای پوششد وتعمیم انه -نگاه به به یک پس ران و ارتباط با فضاهای پوششی تعمیم یافته

کارول برسوک در سال 1968 با ارائه مقاله ای درباره ویژگی های هموتوپی فضاهای متریک فشرده، نطریه شکل را معرفی کرد. در این نظریه که تعمیمی از نظریه هموتوپی است، می توان فضاهایی که ویژگی های موضعی مناسبی ( مانند همبند موضعی)ندارند را مطالعه کرد. برسوک با معرفی مفاهیم ظرفیت و عمق یک فضای متریک فشرده، در پی یافتن رده بندی فضاهای متریک فشرده بر این اساس بود. دنوتا کلزیچک، پژوهش هایی درباره این مسئله انجام داده است. او در تعدادی مقاله، چندوجهی هایی را با ظرفیت متناهی یافت و بعلاوه، مثالی از یک چندوجهی با ظرفیت نامتناهی و چندوجهی هایی با ظرفیت نامتناهی اما دارای عمق متناهی ارائه نمود. در این پایان نامه، با مروری بر پژوهش های وی، این چندوجهی ها را معرفی می کنیم و نشان می دهیم چندوجهی های با گروه بنیادین چنددوری به وسیله متناهی، عمق متناهی دارند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

درسال 2002 بیس توپولوژی ای روی گروه بنیادین فضاها قرار داد و فضای حاصل را گروه بنیادین توپولوژیک خواند. او نشان داد با گذاشتن این توپولوژی روی گروه بنیادین، برخی از قضایای مربوط به گروه بنیادین در حالت توپولوژیکی نیز برقرارند. قضیه ی مهمی که بیس در مقاله خود بیان می کند این است که یک فضا همبند ساده نیم موضعی است اگر و تنها اگر گروه بنیادین توپولوژیک آن گسسته باشد. فابل با ارائه یک مثال نقض نشان می دهد که این قضیه در حالت کلی برقرار نیست و با اضافه کردن شرط همبند مسیری موضعی و متریک به فضا این قضیه را اثبات کردند. پس از آن کلکات و مکارتی با اضافه کردن شرط همبند مسیری موضعی به فضا این قضیه را اثبات کردند. همچنین در این رساله یک نوع تارسازی با عنوان تارسازی پوششی دقیق معرفی می شود که خواص مشابه با فضاهای پوششی دارند و می توان گفت که تعمیم این فضاهاست. و خواهیم دید که شرط لازم و کافی برای آن که گروه بنیادین توپولوژیک ناهمبند مسیری کلی باشد آن است که برای آن فضا یک تارسازی پوششی دقیق جهانی موجود باشد. و در فصل آخر این رساله فضاهایی را معرفی میکنیم که کاربرد قضایای فصول قبل رانشان می دهد.

از قضیه ی ون کمپن نتیجه می شود که فضای توپولوژیک x همبند ساده است هرگاه برابر با اجتماع دو زیرفضای باز همبند ساده خود با اشتراک همبند مسیری باشد. در این پایان نامه تعمیم های گوناگونی از قضیه ی ون کمپن برای فضاهای همبند ساده ی مسطح را می آوریم. از جمله نشان می دهیم اجتماع هر دو زیرفضای پیوستار همبند ساده، همبند ساده است، هرگاه اشتراک آن ها همبند مسیری و حجره ای باشد. همچنین نشان می دهیم برخی شرایط در قضایای فوق اساسی است. در ادامه به بررسی قضیه ی توپولوژیک هِلی که به صورت زیر است، می پردازیم. قضیه (قضیه ی توپولوژیک هِلی). اگر m و n دو عدد طبیعی باشند به طوری که n<=m وf خانواده ای m+1 عضوی از زیرمجموعه های بسته ی فضای اقلیدسی n-بعدی باشد، به قسمی که برای هر عدد طبیعی k که k<=n، اشتراک هر k عضو از خانواده ی f حجره ای تکین باشد و اشتراک هر n+1 عضو از f ناتهی باشد، آنگاه اشتراک تمام اعضای f حجره ای تکین است.

this thesis basically deals with the well-known notion of the bear-invariant of groups, which is the generalization of the schur multiplier of groups. in chapter two, section 2.1, we present an explicit formula for the bear-invariant of a direct product of cyclic groups with respect to nc, c>1. also in section 2.2, we caculate the baer-invatiant of a nilpotent product of cyclic groups wuth respect to nc, c>1. in section 2.3 a property for the baer-invariant of nilpotent product of arbitary groups will be presented which is somehow a generalization of haebich theorem [10].now, in chapter three, we will present some classes of groups which do not have any generalized covering group with respect to the variety nc, c>2. also we will construct a generalized group for some classes of groups. these results give a more clear idea of the subject than beyland tappes example [3] and also given an idea that wiegolds result [36] and haebichs result [10] can not be generalized to the variety of nilpotent groups of class at most c>2. in 1904 i. schur [30] showed that if g is a finite group and gp is a sylow p-subgroup of g, then m (g)p, the sylow p-subgroup of the schur multiplier of g, is isomorphic to a subgroup of m (gp). in 1973 j. wiegold and m. r. jones [17] presented an intersting generalization of schur theorem [18,30]. in fact they showed that if h is a subgroup of a finite group g of index n, then m (g). the n-th powers of elements of m (g), is embedded in m (h). in chapter four sections 4.1 and 4.2 we will generalize the last two results to the variety nc, c>1, and to the centre by centre an outer commutator word variety respectively. in section 4.3 we have shown that if g is a finite nilpotent group then for c+1 is a prime number. also we have shown that if g is a finite abelian group then for natural number c. finally, in section 4.4 we present an important example to show that the results of section 4.1, 4.2 and 4.3 are in the best possible situations. in fact, we given a non-niplotent, solvable group for which the result of section 4.3 and schur theorem [18,30] are not held.