در این پایان نامه درابتدا به معرفی ‎bck-جبرها‎،‎ جبر تفاضلی‎،‎ ابر k-جبرها و شبه اجتماع ابر k-جبرهامی پردازیم و سپس به بررسی سه توپولوژی و خواص آن‎،‎ روی ‎‎bck-جبرهابا پایدار های چپ و راست پرداخته وبه علاوه توپولوژی یکنواخت روی ابر k-جبرها، جبر تفاضلی وشبه اجتماع ابر k-جبرها را مورد مطالعه قرار می دهیم‎ هم چنین به بررسی بعضی از توپولوژی ها روی شبه اجتماع ابرk- جبرها می پردازیم .‎ به علاوه نشان می دهیم که زیر مجموعه ناتهی ناهمبند ‎u‎ و زیر مجموعه سره بسته ‎a‎ از ‎bck-جبر ‎،‎‎x‎ وجود ندارد به طوری که0 عضوی ازu و ‎a‎ همبند باشد.

عمل ‎$‎ . ‎$‎ درنیم گروه گسسته دلخواه ‎$ (s,.) $‎ قابل توسیع به ‎$ eta s $‎- فشرده سازی استون-چخ ‎$ s $‎- است. ‎$ (eta s,.) $‎ یک نیم گروه راست توپولوژیک است و ‎$ s $‎ در مرکز توپولوژی قرار گیرد.(یعنی برای هر ‎$ p in eta s $‎، تابع ‎$ ho_p‎: ‎eta s ightarrow eta s $‎ با ضابطه ‎$ ho_p(q) =q.p $‎ و برای هر ‎$ x in s $‎، تابع ‎$ lambda_x‎: ‎eta s ightarrow eta s $‎ با ضابطه ‎$ lambda_x =x.p $‎ پیوسته است) در نظریه رمزی این فضاها کاربردهای فراوانی دارد. برای آشنایی و بعضی از کاربردهای ترکیباتی نیم گروه ‎$ (eta s,.) $‎ به ‎cite{10}‎ مراجعه نمایید. اگر ‎$ s $‎ گسسته نباشد، چنین توسیعی امکان پذیر نیست. در بخش یک از فصل دوم، حالت های ناخوشایندی را که برای هر زیر نیم گروه چگال در ‎$ ([0,infty],+) $‎ به وجود می آید، بررسی می کنیم. در این پایان نامه به طور ویژه نیم گروه ‎$ ((0,1),.) $‎ را بررسی کرده و فرض می کنیم: ‎ ‎0^+= igcap _{varepsilon >0} cl _{eta (0,1)_d} (0‎, ‎varepsilon)‎. ‎ در این صورت ‎$ 0^‎+ ‎$‎ ایده آلی دوطرفه از ‎$ (eta (0,1)_d,.) $‎ است. بنابراین شامل ایده آل مینیمال است. این حقیقت جبری ساده منجر به نتایجی می شود. اطلاعات زیادی در مورد ایده آل مینیمال ‎$ (eta s,.) $‎ که ‎$ s $‎ نیم گروه گسسته دلخواه باشد، به دست می آید که این حقایق به طور معمول برای ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,.) $‎، چون مشابه ایده آل مینیمال ‎$ (eta (0,1)_d,.) $‎ است، نیز به کار برده می شود. به عنوان مثال طبق نتیجه ‎4-6 cite{8}‎، بستار ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,.) $‎، ایده آلی از ‎$ (0^+,.) $‎ می باشد و این نتیجه می دهد ‎$ 0^‎+ ‎$‎ زیر نیم گروه ‎$ (eta mathbb{r}_d,+) $‎ است، اما ایده آلی از آن نیست. بنابراین از نتایج به دست آمده در مورد نیم گروه های گسسته، اطلاعاتی راجع به ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,+) $‎ به دست نمی آید. در بخش دوم از فصل دوم، اعضای ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,+) $‎ و بستارش معرفی می گردند. همچنین به معرفی زیر مجموعه هایی از ‎$ mathbb{r} $‎ که خودتوان های ‎$ (0^+,+) $‎، در بستارشان می باشند، می پردازیم. مجموعه های مرکـزی (مجموعه هایی که خودتوان هایش در اشتراک بستارش با ایده آل مینیمال می باشند)اهمیت ویژه ای در کاربردهای ترکیباتی دارد. در فصل سوم، مجموعه های مرکزی نزدیک به صفر مورد بررسی قرار می گیرد و در فصل چهارم، نتایج ترکیباتی از آن ارائه می گردد. برای بیشتر نتایجی که به دست می آید، نیازی به کل ‎$ (mathbb{r}‎, +) ‎$‎ نداریم. بنابراین این نتایج را برای زیرنیم گروهی از ‎$ (mathbb{r}‎, +) ‎$‎ که در ‎$ (0,infty) $‎ چگال است، به کار می بریم.

بدون شک جبر و توپولوژی دو رشته مهم در ریاضیات به شمار می آیند. وقتی این دو رشته از ریاضیات را همزمان مورد استفاده قرار دهیم، زیبایی و جذابیت خاصی به مطالب خواهند بخشید. در یک نگاه کلی مطالب حلقه توابع پیوسته، ارتباط خواص توپولوژیکی فضای ‎$x$‎ و خواص جبری حلقه توابع پیوسته حقیقی روی آن، یعنی؛‎$c(x)$‎ را مورد نظر دارد. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول برخی از مفاهیم توپولوژی و تعاریف جبری ‎$c(x)$‎ را بیان می کنیم. تعریف مهمی که در این فصل ارایه می شود تعریف ‎$z$-‎ایده آل در ‎$c(x)$‎ است. در پایان این فصل به مطالعه ‎$-f$‎فضا،شبه‎$-f$‎فضا، ‎$-p$‎فضا و شبه ‎$-p$‎فضامی پردازیم که در فصل های بعدی به آنها نیازمندیم. در بخش اول فصل دوم‎$sqrt{z}$-‎ایده آل ها را تعریف می کنیم و ثابت می کنیم که برای هر ایده آل ‎$i$‎ در ‎$c(x)$‎، بزرگترین ‎$z$-‎ایده آل مشمول در ‎$i$‎و کوچکترین ‎$z$-‎ایده آل شامل ‎$i$‎ وجود دارد. همچنین رابطه بین ‎$z$-‎ایده آل ها و ایده آل های اول و اولیه بررسی می شوند. در بخش دوم همین فصل ‎$z^{circ}$-‎ایده آل ها و ‎$sqrt{z^{circ}}$-‎ایده آل ها را تعریف می کنیم و ثابت می کنیم که برای هر ایده آل نامنظم ‎$i$‎ در ‎$c(x)$‎، کوچکترین ‎$z^{circ}$-‎ایده آل شامل ‎$i$‎ وجود دارد. همچنین شرایط وجود بزرگترین ‎$z^{circ}$-‎ایده آل مشمول در ‎$i$‎ را بررسی می کنیم. در فصل سوم ‎$z_{j}$-‎ایده آل،‎$z^{circ}_{j}$-‎ایده آل،‎$z$-‎ایده آل نسبی (‎$rez$-‎ایده آل ) و همچنین ‎$z^{circ}$-‎ایده آل نسبی (‎$rez^{circ}$-‎ایده آل ) تعریف می شوند. در این فصل رابطه بین ‎$rez$-‎ایده آل ها و ایده آل های اصلی و اساسی بررسی می شوند. در بخش دوم از فصل سوم جمع ‎$z_{j}$-‎ایده آل ها و ‎$z^{circ}_{j}$-‎ایده آل ها بررسی می شودو ثابت می کنیم که هرگاه ‎$x$‎، ‎$-f$‎فضا باشد جمع هر دو تا‎$z_{j}$-‎ایده آل ‎($z^{circ}_{j}$-‎ایده آل)، ‎$z_{j}$-‎ایده آل ‎($z^{circ}_{j}$-ایده آل)‎ است و اگر ‎$x$‎، ‎$-p$‎فضا باشد جمع هر دو تا ‎$rez$-‎ایده آل،‎$rez$-‎ایده آل است. در فصل چهارم ابتدا به طور مختصر به معرفی فضای ‎$mathcal{lmc}(s)$‎ می پردازیم. همچنین ‎$e$-‎ایده آل ها و ‎$e$-‎فیلترها را تعریف و رابطه بین ایده آل های ماکسیمال در ‎$mathcal{lmc}(s)$‎ و ‎$e$-‎فیلترها و ‎$e$-‎ایده آل ها را بررسی می کنیم.

مفهوم برد عددی از جمله مطالب مهم و مورد توجه در بحث انالیز ماتریس ها می باشد.برد عددی که ناحیه ای محدب و فشرده از صفحه مختلط است در ابتدا برای ماتریس های با درایه های مختلط مطرح گردید.در صورتی که h یک فضای هیلبرت وt یک عملگر خطی کراندار باشد برد عددی t به طور مشابه تعریف گردیده و با w(t) نمایش داده می شود. در این مقاله به بررسی برد عددی توان های صحیح ومثبت k و همچنین توان های منفی k (در صورت وارون پذیری t)از عملگر خطی وکراندار t می پردازیم.

هدف این پایان نامه بررسی قضایای وجودی نقطه ثابت فازی برای نگاشت های فازی روی فضاهای متریک کامل و معرفی برخی کاربردهای مربوطه با تمرکز بر نگاشت های فازی با مجموعه های $ ext{برش} -alpha $ ناتهی، محدب و فشرده است. اصل انقباض باناخ وجود نقطه ثابت منحصر به فرد را برای نگاشت های انقباضی با ثابت لیپشیتز در بازه $ left( 0,1 ight) $ روی فضاهای متریک ( غیر فازی ) کامل تضمین می کند. به عبارتی اگر $ (x,d) $ یک فضای متریک کامل بوده و $ t:x longrightarrow x $ نگاشتی باشد که برای یک ثابت $kin (0,1)$ ، برای هر $ x,yepsilon x $ در رابطه $d(tx,ty) leqslant kd(x,y) $ صدق نماید، آنگاه $ t $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به فرد در $ x $ است. %cite{banach} . از جمله مسائل جالب که جای بحث دارد، بررسی وجود نقاط ثابت و احتمالا تعدد آنها برای نگاشت های لیپشیتز و نگاشت های انقباضی در فضاهای متریک کامل فازی خواهد بود که شامل مطالعه در تعمیم ها و تجریدهای متداول برای اصل انقباض باناخ می باشد. ما در این نوشتار به معرفی اعمال جبری روی مجموعه های فازی، متریک فازی و حسابان فازی پرداخته و برای حل چند معادله انتگرال و دیفرانسیل فازی خاص از قضایای نقطه ثابت استفاده خواهیم کرد.