فرض کنید a یک جبر باناخ باشد.دوگان دوم a با ضرب آرنز به یک جبر باناخ تبدیل می شود. در این پایان نامه خواص مقدماتی دوگان دوم a را بررسی می کنیم.بویژه برخی قضایا درباره ی ایدال های ماکسیمال منظم و رادیکال دوگان دوم a را بیان و اثبات می کنیم.چنانچه g گروه موضعا فشرده باشد دوگان دوم جبرگروهی l1(g) را با ضرب آرنز مجهز می کنیم. بسیاری از خواص اساسی آنرا بررسی می کنیم. بویژه نشان داده می شود رادیکال l1(g) چنانچه g گروه ناگسسته باشد، تفکیک ناپذیر است . همچنین ایدال های ماکسیمال منظم مشخصه سازی می شوند.

تعریف مشتق و مشتق نقطه ای جهت تعریف میانگین پذیری ضعیف و میانگین پذیری جبر اندازه ها و اثبات مطلب زیر: گروه موضعا" فشرده g گسسته و بعنوان یک گروه میانگین پذیر است اگر و تنها اگر جبر اندازه (m(g میانگین پذیر باشد.

در این پایان نامه ثابت می شود که جبر فوریه یک گروه موضعا فشرده میانگین پذیر است اگر و تنها اگر آن گروه دارای یک زیر گروه آبلی با شاخص متناهی باشد. همچنین جبر فوریه اشتلیس آن میانگین پذیر است اگر و تنها اگر آن گروه دارای یک زیر گروه آبلی فشرده با شاخص متناهی باشد. در مورد میانگین پذیری ضعیف بیان می کنیم که جبر فوریه یک گروه موضعا فشرده زمانی میانگین پذیر ضعیف است که مولفه عضو همانی آن گروه آبلی باشد.

در این پایان نامه به بررسی مرکز توپولوژیک دوگان دوم جبرهای گروهی l^{1}(g)- m(g)- luc(g)-با رویکرد نویفنگ پرداخته و به سوالاتی در این زمینه پاسخ داده شده است.

دراین پایان نامه فشردگی و فشردگی ضعیف عملگرهای ترکیبی روی فضاهای تابعی معروف در انالیز تابعی بررسی می شود.و نشان می دهیم چنین عملگر هایی از الگوی کم وبیش مشابهی پیروی می کنند.

در این پایان نامه نتایج کلی درباره ی منظم درونی و منظم بیرونی بودن و گسترش اندازه های بورل ضعیف و بورل بررسی می شوند. سپس این قضایا برای اندازه هار روی یک گروه توپولوژیک موضعا فشرده به کار گرفته میشوند. گسترش های انداره هار از جنبه های مختلفی بررسی می شود.

در این پایان نامه عملگرهای انتگرالی که توسط هسته ی مثبت معین تعریف می شوند را مطالعه نموده و همچنین بررسی می کنیم که این عملگرها تحت چه شرائطی خودالحاقی و فشرده می شوند. فضای مورد نظر، متریک و همراه با یک اندازه ی مثبت فرض شده است. در ادامه به معرفی و بررسی عملگرهای از کلاس تریس (هسته ای)، فشرده و هیلبرت- اشمیت می پردازیم. در بخشی ریشه ی مربع مربود به این عملگر انتگرالی را معرفی نموده و به بررسی برخی از خواص این عملگر می پردازیم و همچنین یک عملگر انتگرالی مربوط به هسته ای خاص را معرفی می نماییم. در پایان با فرض هموار بودن هسته به تحلیل میزان نرخ کاهش مقادیر ویژه ی عملگرهای انتگرالی می پردازیم. نتایج حاصل حالاتی که فضا اقلیدسی و مجهز به اندازه ی لبگ است و یا زیرمجموعه ای از یک کره و مجهز به اندازه ی لبگ سطح است را در بر دارد.

مساله ی تقریب، بخصوص تقریب داده های پراکنده شده کاربردهای زیادی در علوم مختلف از جمله علوم کاربردی دارد. در این پایان نامه ما تقریب داده های پراکنده شده روی یک گروه فشرده با توابع معین مثبت را بررسی می کنیم، در واقع پس از بیان ارتباط بین نمایش های روی یک گروه فشرده و توابع معین مثبت روی آن گروه این مساله ی تقریب را بیان می کنیم و سوالاتی که ممکن است بوجود آید را بیان کرده و تا حد امکان سعی می کنیم به این سوالات پاسخ دهیم.

در این پایان نامه به بررسی توابع وزن روی نیم خط حقیقی می پردازیم و شرایط مختلفی را که تحت آنها فضاهای لبگ وزن دار توابع و اندازه ها، با عمل پیچش جبر باناخ می شوند بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا فضاهای lp را برای p بزرگتر یا مساوی صفر بررسی کرده ام. سپس به درستی حدس lp روی گروههای موضعاً فشرده برای p>0 پرداخته ام.علاوه بر اثبات سااکی برای حدس lp به مهمترین نتایج موجود درباره حدس lp اشاره کرده ام.

فرض کنید g یک گروه به طور فشرده تولید شده و موضعاً فشرده باشد وt_? عملگر پیچش با یک انداز? احتمال ? روی g و t_kعملگر پیچش با یک چگالی احتمال k باشد . هدف اصلی این پایان نامه ارائ? شرایط کافی روی ? وk است برای این که عملگرهای t_? و t_kروی l^p (g) که ?<p<?، تحلیلی باشند .منظور از تحلیلی بودن داشتن یک براورد به فرم ||(i-s)s^n ||?c/n است.

در این پایان نامه ضمن بررسی برخی خواص توابع وزن روی گروه موضعاً فشرده‏، شرایط لازم و کافی را که تحت آن ها فضای لبگ وزن دار روی گروه موضعاً فشرده با عمل پیچش تشکیل جبر باناخ می دهد بررسی می کنیم. به خصوص نشان می دهیم شرط معروف زیر پیچشی بودن تابع وزن‏، شرط کافی برای این امر هست ولی شرط لازم نیست.‎

یکی از مسائل اساسی که در بحث نمایش ها در آنالیز هارمونیک وجود دارد، این است که با هر نمایش می توان توابع معین مثبت را ساخت و برعکس، با استفاده از هر تابع معین مثبت روی g می توان یک نمایش روی گروه موضعاً فشرده g را معرفی کرد. بنابر قضیه? گلفاند - رایکوف داریم که اگر g یک گروه موضعاً فشرده باشد، آن گاه نمایش های تحویل ناپذیر روی g می توانند g را تفکیک کنند. یعنی اگر x و y دو عضو متمایز g باشند، آن گاه نمایش تحویل ناپذیر ? از g روی فضای هیلبرت h_? موجود است که ?(x)??(y). با توجه به ارتباط گفته شده بین نمایش ها و توابع معین مثبت می توان نتیجه گرفت که توابع معین مثبت می توانند اعضای g را تفکیک کنند. حال این خاصیت را برای زیرگروه بسته? h از g به صورت زیر در نظر می گیریم : p_h(g) = {??p(g) : ?(h)=? , h?h برای هر }. اگر برای هر x?g?h یک ??p_h(g) موجود باشد که (x)???، آن گاه گوییم g دارای خاصیت h - تفکیک پذیری است. هرگاه g برای هر زیرگروه بسته? h دارای خاصیت h - تفکیک پذیری باشد، آن گاه گوییم g دارای خاصیت تفکیک پذیری است. در این رساله می خواهیم خاصیت h - تفکیک پذیری گروه g وقتی h ویژگی های متفاوتی دارد را بررسی کنیم. کلمات کلیدی : توابع معین مثبت، خاصیت تفکیک پذیری، گروه موضعاً فشرده

فرض کنید g یک گروه متناهی باشد و (?(g را مجموع مرتبه ی عناصر گروه g در نظر بگیرید. قضیه ی اصلی ما در این پایان نامه‏، این است که‎‎‏ برای زیرگروه سره ی h از گروه متقارن sn، که h متمایز از گروه متناوب an می باشد‏، نشان ‎‎دهیم‏: .(?(an)>?(h برای این کار نشان خواهیم داد که برای هر زیرگروه ماکسیمال h از sn، کهh ‎ متمایز از گروه متناوب an باشد‏، همواره داریم: .(?(an)> ?(h طبق قضیه ی اسکات، هر زیرگروه ماکسیمال m از sn، در یکی از سه دسته ی غیرانتقالی، انتقالی اولیه و انتقالی غیراولیه قرار می گیرد. ابتدا نشان خواهیم داد که اگر h یک زیرگروه غیرانتقالی ماکسیمال از sn باشد، آنگاه .(?(an) > ?(h و در گام دوم نشان می دهیم که اگر h زیرگروه ماکسیمال انتقالی از sn باشد که متمایز از گروه متناوب an است، آنگاه .(?(an) > ?(h

فرض کنید ‎$ ‎g‎ $‎ گروهی متناهی ‎ ‎?(g)‎‎ ‎ نشان دهنده ی مجموع مرتبه ی عناصر گروه g‎ باشد. ماکسیمم مقدار ‎?‎ روی ‎‎همه ی گروه های از مرتبه ی ‎ ‎n‎ ‎‏، به طوری‎‎ که ‎ ‎n‎ ‎ عدد صحیح مثبتی است در گروه های دوری اتفاق می افتد. همچنین اگر گروه غیر پوچتوانی از مرتبه‎‎ ی ‎ ‎n‎ ‎ موجود باشد‏، آن گاه مینیمم مقدار ‎?‎‎ در یک گروه غیر پوچتوان اتفاق می افتد. همچنین در ادامه برخی از ویژگی های مجموع مرتبه ی عناصر گروه های آبلی متناهی را بررسی می کنیم.

توپولوژی‎ قوی* ‎‎s*(x) ‎‏از فضای باناخ x‎‏‏ که با ‎‎s*(x) نشان داده می شود‏، یک توپولوژی موضعاً محدب تولید شده توسط شبه نرم های ‎‎‏ x?||sx|| است که در آن ‎‎s روی نگاشت های خطی کراندار‏ از x به توی فضاهای هیلبرت تغییر می کند.‎‎‎w.r‎‏- توپولوژی ‎‎‎‏?(x) برای xتوپولوژی موضعاً محدب قوی تری است که به طور مشابه با جایگزین کردن فضاهای باناخ انعکاسی به جای فضاهای هیلبرت در s*(x) به دست می آید. برای هر فضای باناخ y نگاشت خطی ‎‎‏ ‎‎t:x?y به طور ضعیف فشرده است زمانی که t‎‎‏ از w.r- توپولوژی به توپولوژی نرمی روی yپیوسته باشد. نتیجه ی اصلی انطباق این دو توپولوژی روی مجموعه های نرم کراندار را ثابت می کند.

ما ثابت می کنیم که عملگرهای به طور ضعیف فشرده روی یک فضای نرم دار غیر انعکاسی‏، نمی توانند دوسویی باشند. هم چنین نشان می دهیم که در نتیجه ی بالا‏، دوسویی بودن نمی تواند با پوشایی بودن جایگزین شود؛ سرانجام‏، به مطالعه ی عملگرهای t‎-‎‎? ‎‎‎i‎‎ می‎‏ ‏‎پردازیم که t‎‎‎‏ یک عملگر پوشای به طور ضعیف فشرده و i عملگر همانی است. ‏در طول مطالعه‏، نتیجه ی ‏جدید‎ اسپرنی‎ به دست می آید که: عملگرهای فشرده روی یک فضای نرم دار نامتناهی ‏البعد نمی توانند پوشا باشند.‏‎ واژگان کلیدی: عملگر به طور ضعیف فشرده‏، فضاهای نرم دار غیرکامل‏، فضای انعکاسی.

پلی آنیلین یکی از معروفترین پلیمرهای رساناست و به سبب آسانی سنتز، پایداری محیطی، خواص شیمیایی جالب، دوپینگ/آندوپینگ آسان، رسانایی ویژه و بسیاری از کاربردهای دیگرش مورد توجه قرار گرفته است. ولی این پلیمر غیر قابل ذوب بوده و در بسیاری از حلالها نامحلول است و این عوامل سبب بروز مشکلاتی از نقطه نظر صنعتی در جهت استفاده از این پلیمر و همچنین عدم فرایند پذیری این پلیمر شده است.موثرترین روش برای غلبه بر این مشکل، کوپلیمریزاسیون آنیلین با مشتقات شاخه دار آنیلین است. در کار حاضر ابتدا اتیل-3-آمینوبنزوات و بوتیل-3-آمینوبنزوات را از 3-آمینوبنزوییک اسید با روش استری کردن مستقیم تهیه و سپس پلی آنیلین و کوپلیمرهای آنیلین-اتیل-3-آمینوبنزوات و آنیلین-بوتیل-3-آمینوبنزوات را با استفاده از دستگاه التراسوند سنتز کردیم. در مرحله بعد کوپلیمر آلترناتیو استایرن انیدرید مالییک تهیه شد. هیدرولیز این کوپلیمر در محیط قلیایی ما را به کوپلیمرحاوی گروههای کربوکسیلیک اسید در ساختار زنجیره اصلی رساند. نانو کامپوزیت پلی آنیلین ، کوپلیمرهای آنیلین-اتیل-3-آمینوبنزوات و آنیلین-بوتیل-3-آمینوبنزوات با استفاده ازروش مخلوط کردن محلول فیزیکی این نانو پلیمرها و کوپلیمر آلترناتیو استایرن- مالییک اسید در نسبتهای مولی مختلف تهیه شد. برای بهبود مقاومت مکانیکی وانعطاف پذیری بهتر کامپوزیتهای حاصل به ساختار کامپوزیت، پلیمر تجاری پلی استایرن با نسبتهای وزنی مختلف اضافه شد. اثر تغییرات مولی منومرهای کوپلیمر شده روی رسانایی و ساختار هر یک از کوپلیمرها و کامپوزیتهای سنتزی بحث شد. پلیــــمرهای سنتز شده با استفاده از h-nmr و (ft-ir) طبقه بندی شدند. رفتار حرارتی پلیمرها با استفاده از(dsc) مورد مطالعه قرار گرفت. حلالیت پلیمرها در حلالهای مختلف آلی بررسی گردید.

می خواهیم وجود یک سیستم هار پیوسته روی یک گروپوئید موضعاً فشرده، شمارای نوع دوم و با مدارهای باز (به عنوان زیر مجموعه هایی از فضای همانی ) را ثابت کنیم. با استفاده از یک نتیجه وستمن (اگر یک گروپوئید موضعاً فشرده، سیستم هار پیوسته داشته باشد، آنگاه نگاشت برد باز است) نتیجه می گیریم که نگاشت برد از هر گروپوئید موضعاً فشرده ی شمارای نوع دوم با مدارهای باز، باز است. آنتونی کارل سدا ثابت کرده که اگر ‎g‎ موضعاً متعدی باشد، آنگاه هر سیستم هار روی g‎ پیوسته است. ژان رنو‎ ثابت کرده که اگر g‎ کلاً نامتعدی (مانند کلافی از گروهها) و نگاشت کلافی باز باشد، آنگاه سیستم هار پیوسته ای روی ‎g‎ موجود است. ما تعمیمی از این نتایج را ارائه می دهیم. می خواهیم نشان دهیم اگر ‎g‎ گروپوئید موضعاً فشرده با ‎g^{0}‎ پیرافشرده باشد ونگاشت برد‎ باز باشد، آنگاه پیوستگی سیستم هار معادل با پیوستگی همریختی های معینی روی گروپوئید است. این همریختی ها روی فضای همانی پیوسته اند. اگر ‎g‎ موضعاً متعدی باشد از پیوستگی یک همریختی روی فضای همانی، پیوستگی روی ‎g‎ نتیجه میشود. اگر g‎ کلاً نامتعدی باشد، در این صورت این همریختی ها صفر هستند. بنابراین در هر دو حالت (موضعاً متعدی و کلاً نامتعدی) وجود یک سیستم هار پیوسته نتیجه می شود. هر گروپوئید g‎ یک رابطه ی هم ارزی روی فضای همانی g^{0}‎ تعریف می کند. نمودارr ‎ از این رابطه ی هم ارزی یک گروپوئید است که به آن گروپوئید مقدماتی مرتبط با g‎ گفته می شود. اگر g‎ یک گروپوئید توپولوژیک باشد آنگاه می توانیم ‎r‎ را به توپولوژی خارج قسمتی القایی از ‎g^{0}*g^{0}‎ مجهز کنیم. اگر توپولوژی روی g‎ موضعاً فشرده باشد آنگاه توپولوژی حاصلضربی رویr ‎ موضعاً فشرده است اگر و فقط اگر نمودار رابطه ی هم ارزی موضعاً بسته باشد. از طرف دیگر اگر r‎ را به توپولوژی حاصلضربی القایی از ‎g^{0}*g^{0}‎ مجهز کنیم وجود یک سیستم هار روی ‎g‎ لزوماً وجود یک سیستم هار روی ‎r‎ را نتیجه نمی دهد. می خواهیم ‎r‎ را به توپولوژی خارج قسمتی از g‎ مجهز کنیم و فرض خواهیم کرد که تحدید نگاشت برد به کلاف گروه های ایزوتروپیg ‎ باز است. ثابت خواهیم کرد که توپولوژی خارج قسمتی موضعاً فشرده است و وجود یک سیستم هار روی ‎g‎ با وجود یک سیستم هار روی ‎r‎ معادل است. با استفاده از معادل بودن پیوستگی سیستم هار و پیوستگی همریختی های معینی روی گروپوئید، پاسخ منفی به سوال مطرح شده توسط ک. مکنزی‎ می دهیم که می پرسد:" اگر‎ یک همریختی گروپوئیدی بین h و g باشد که در آن ‎h‎ و ‎g‎ گروپوئیدهای توپولوژیک هستند. آیا از پیوستگی این همریختی‎ روی یک همسایگی فضای همانی ‎g‎ می توان پیوستگی ‎آن‎ روی ‎g‎ را نتیجه گرفت؟‎".

در فصل اول این پایان نامه، تعریف گروپوئید ارائه خواهد شد وبیان برخی مثالها از گروپوئید خواهیم پرداخت. در فصل دوم، مشابه با گروههای توپولوژیکی، ساختار گروپوئیدهای توپولوژیکی معرفی می شوند. گروپوئیدهای مورد بحث ما، گروپوئیدهای موضعاً فشرده هستند. برای گروپوئیدهای موضعاً فشرده سیستم هار را تعریف می کنیم. در ادامه به بررسی ساختار *-جبر پیچشی نرمدار( cc(g خواهیم پرداخت و همچنین ثابت می کنیم اگر g یک گروپوئید موضعاً فشرده شمارای نوع دوم باشد، آنگاه( cc(g تحت ضرب پیچشی و i-نرم یک *-جبر نرمدار جدایی پذیر است و برگشت ایزومتریک است. در فصل سوم، نشان می دهیم مشابه با گروهها قضیه نمایش برای گروپوئیدها نیز صادق است. با این تفاوت که، اگر g یک گروپوئید موضعاً فشرده باشد، آنگاه یک نمایش از گروپوئید g روی یک کلاف از فضاهای هیلبرت یک نمایش از (cc(g روی یک فضای هیلبرت معرفی می کند. درفصل آخر، به تجزیه از یک سیستم هار روی یک گروپوئید موضعاً فشرده خواهیم پرداخت. در این فصل همچنین با استفاده از تعاریفی گروپوئیدهای اندازه را معرفی می کنیم و نشان می دهیم برای این گروپوئیدها اندازه هار تعریف می شود.

در این پایان نامه، ما حالات ضعیفِ ( خاصیت تقریب ضعیف، خاصیت تقریب ضعیف کران دار و خاصیت شبه تقریب ) خاصیت تقریب را بررسی می کنیم و ویژگی های مختلفِ این خواص را نتیجه می گیریم و نیز نشان خواهیم داد که اگر دوگان فضای باناخ x‎، خاصیت تقریب ضعیف (به ترتیب خاصیت تقریب ضعیف کران دار ) داشته باشد آن گاه ‎x‎ نیز خاصیت تقریب ضعیف (به ترتیب خاصیت تقریب ضعیف کران دار ) را خواهد داشت. همچنین خواهیم دید که خاصیت تقریب ضعیف کران دار کاملاً به خاصیت شبه تقریب وابسته است.

در این رساله میانگین پذیری داخلی روی گروه موضعاً فشرده ی ‎$g$‎ را بررسی می کنیم. شروط کافی روی ‎$g$‎ برای وجود یک میانگین پایای داخلی را به دست می آوریم، همچنین چند شرط لازم نیز حاصل می شود‎.در این رساله میانگین پذیری داخلی روی گروه موضعاً فشرده ی ‎$g$‎ را بررسی می کنیم.

فرض می کنیم k(x,y) هسته معین مثبت عملگر انتگرال k روی بازه بی کران i باشد. اگر k به کلاس a تعلق داشته باشد، عملگر انتگرال متناظر، فشرده و از کلاس تریس است. تحت شرایطی هسته k با یک سری که همگرای مطلق و همگرای یکنواخت است، نمایش داده می شود که جملات آن از توابع ویژه عملگر k که پیوسته یکنواخت هستند، تشکیل شده است.