فرض کنید c یک کد کامل در یک گراف فاصله متعدی و متقاطر باشد. نشان داده شده است که اگر u عضو c باشد آنگاه هر راس در بیشترین فاصله از u متعلق به c است. همچنین ثابت شده است که هر گراف حاصل از حاصل ضرب مستقیم n دور دقیقا با n راس مشخص می شود.

فرض کنید (n_q(k,dکوچکترین مقدار nباشد به طوری که یک [n,k,d] -کد خطی روی gf(q وجود داشته باشد. یک [n,k,d] -کد که طولی مساوی با (n_q(k,d داشته باشد بهینه نامیده می شود. مساله پیدا کردن (n_q(k,d برای مورد q=2 بیشتر مورد توجه قرار گرفته است. ما در این پایان نامه (n_q(k,d را برای q=3,4 و k<5 و با روشی جدید برای q=7 با k<4 وچند مورد برای q=7 بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، چندین روش رل برای ساخت کدهای خوددوآل از ماتریسهای آدامار و طرحهای ترکیبیاتی ناشی از آنها ارائه می کنیم. در اینجا بیشتر روی حالت دوتایی تمرکز کرده و این روشها را تعمیم میدهیم. در نتیجه ما میتوانیم تعداد زیادی کدهای خودمتعامد و حتی تعداد زیادی کدهای خوددوآل زوجی مضاعف تولید کنیم. همچنین مشخص شده است که اگر p یک عدد اول باشد که nرا عاد کند و n، p^2 راعاد نکند، آنگاه کد تولیدشده توسط سطرهای h_n روی gf(p) خوددوآل است. به علاوه برای بعضی از pها یک دسته بندی از کدهای خوددوآل از ماتریسهای آدامار مرتبه n روی gf(p) نیز ارائه می کنیم.

مبحث اصلی نظریه ی کد گذاری،مطالعه ی روش هایی برای انتقال اطلاعات به صورت دقیق و کار آمد از محلی به محلی دیگر است.در این رساله از بین مباحث نظریه کدگذاری به بررسی کدهای خاصی می پردازیم که به کدهای خود دوآل معروفند.کدهای خود دوال شامل بهترین کدهای تصحیح کننده خطا می باشندو همچنین ارتباط قوی با ترکیبات،نظریه گروه ها و شبکه ها دارند و کاربرد این کدها در انتقال اطلاعات،شمارش و نظریه طرح ها می باشد.در این مقاله سعی میکنیم توزیع وزنی کدهای خود دوآل به طول n?72 راکه بیشترین مینیمم فاصله ی ممکن d را دارند،مشخص کنیم.و همچنین تمام کد های خود دوآل اکیسترمال تا طول 72 و کدهای خود دوآل سه تایی اکسترمال تا طول 60 را دسته بندی کنیم.فرم چند جمله ای وزن شمار کدهای خود دوآل،روی gf(3),gf(2 را شرح داده یک فرم واضح برای این توزیع وزنی که مینیمم فاصله ی بین کلمات کدی تا حد ممکن بزرگ باشد را ارائه می دهیم.نتیجه می شود که برای کدهای خود دوال به طول n رویgf(2) که تمام وزن هایش مضرب 4 است،d?4[n/24]+4 و برای کدهای خود دوآل رویgf(3 ،رابطه d?3[n?12]+3 برقرار می باشد.

ابتدا به تولید کدهای نوع دوم اکسترمال به طول 8n‎ روی z_4‎ پرداخته سپس بااستفاده از مینیمم وزن همینگ دوآل کد باقیمانده، کدهای خوددوآل لی بهینه و همینگ بهینه از طول ‎19 تا ‎24‎ را بررسی می کنیم و همچنین با استفاده از چندجمله ای های ناوردا‎‎‏، وزن همینگ بهینه برای برخی کدهای خوددوآل به طول 8n‎ روی ‎z_4‎‎ را به دست می آوریم.

گراف های‎ کامل دو بخشی را در نظر گرفته و کدهای تولید شده توسط ماتریس وقوع آن ها را به دست می آوریم. فرض می کنیم‎، مجموعه ای با انداز? n‎‏ و‎‎ ?^3مجموعه تمام زیر مجموعه های 3 عضوی باشد. سه گراف ‎‎ ، ‎ و را با مجموعه رئوس ?^3 در نظر می گیریم به طوری که دو رأس‏، به عنوان مجموع? 3 عضوی‏، زمانی در به ازای ‎‎‎i=0,1,2‎‏، با هم مجاورند که در‎ ‎‎i‎ نقطه اشتراک داشته باشند. ما به بررسی کدهای ‎q‎تایی حاصل از ماتریس وقوع هر یک از این سه گراف می پردازیم و پارامترهای اصلی آن را به دست می آوریم.‎

کدهای ‎ p-‎تایی برای هر p‎اول، ناشی از ماتریس وقوع و گراف های خطی گراف همینگ h(n,m) را مورد بررسی قرار داده و پارامترهای اصلی این کدها شامل مینیمم وزن، بعد و ماهیت کلمات از وزن مینیمم را به دست می آوریم. سپس این کار را به کلاس کلی تری از گراف های h^{k}(n,m)برای n>k> 2 ، تعمیم داده و پارامترهای اصلی کدهای ناشی از ماتریس وقوع h^{k}(n,m) را برای m=2 به دست می آوریم. در انتها کدهای p تایی برای هر p اول، ناشی از ماتریس وقوع، ماتریس مجاورت و همچنین گراف های خطی گراف های ‎8‎ راسی ‎3-‎منتظم را مورد بررسی قرار داده ایم.

در این رساله ما کدهای دوتایی ناشی از گراف های قویا منتظم را مورد بررسی قرار می دهیم. به این منظور فرض می کنیم g یک (srg(v,k,? ,µ و ماتریس a، ماتریس مجاورت گراف g باشد. بررسی کدهای دوتایی تولید شده توسط a+i ,a مساله اصلی این رساله می باشد. این کدها را برای خانواده هایی از گراف های قویا منتظم با25?v روی میدان (gf(q به ازای 2,3,5=q بررسی کرده و با محاسبه توزیع وزن این کدها بهینگی آنها را نیز مورد بررسی قرار می دهیم.

یک k- پلکس در یک مربع لاتین مرتبه n، انتخاب kn درایه است که در آن هر سطر، ستون و نماد دقیقا k بار ظاهر شده باشد. به عبارت دیگر، k- پلکس یک مربع لاتین جزئی از مرتبه n است. یک قطر پراکنده از یک مربع لاتین متناظر با حالت k=1 است. در این پایان نامه برای k>n/4 ثابت شده است که همه ی k- پلکس ها، کامل شدنی به مربعات لاتین نیستند. همین طور، نشان داده شده است برای همه ی nهای زوج با شرط n>2 یک مربع لاتین از مرتبه n وجود دارد که برای هر kی فردی که k<?n/4?، k- پلکس ندارد اما یک k- پلکس برای هر kی دیگری که k?1/2 n وجود دارد. یک k- پلکس تقسیم ناپذیر گفته می شود اگر شامل هیچ c-پلکسی برای هر 0<c<k نباشد. ثابت شده است که اگر n=2km باشد برای اعداد صحیح k?2 و m?1 آنگاه یک مربع لاتین از مرتبه n وجود دارد که به 2m تا k- پلکس تقسیم ناپذیر مجزا تجزیه می شود.

برای هر عدد صحیح مثبت m و به ازای w=(q^(m+1)-1)/(q-1) می توان یک (vw,kq^m,?q^m)- طرح متقارن ساخت. اگر h یک ماتریس آدامار منظم با جمع سطری 2h، m یک عدد صحیح مثبت و q=?(2h-1)?^2 توانی از یک عدد اول باشد در این صورت با استفاده از bgw((q^(m+1)-1)/(q-1),q^m,q^m-q^(m-1)) می توان طرح متقارن با پارامترهای ((4h^2 (q^(m+1)-1))/(q-1),(2h^2-h) q^m,(h^2-h) q^m) ساخت هرگاه h در شرایط خاصی صدق کند. چنین شرایطی توصیف شده و نشان داده شده است که اگر h در این شرایط صدق کند و b یک ماتریس آدامار منظم از نوع بوش باشد در این صورت b?h نیز در این شرایط صدق خواهد کرد. این به ما اجازه ساخت خانواده های نامتناهی جدیدی از طرح های متقارن را می دهد. نشان داده شده است که برای هر عدد صحیح n اگر ماتریس آدامار از مرتبه ی 4n وجود داشته و 8n^2-1 توانی از یک عدد اول باشد در این صورت یک ماتریس آدامار منظم مولد از مرتبه ی 16n^2 (8n^2-1) وجود دارد.

این پایان نامه بر سه فصل تنظیم گردیده است. در بخش اول فصل یک، در مورد طرح های زوجی متعادل و تعاریف و قضایای ابتدایی مربوط به آن ها و همچنین در مورد مربعات لاتین توضیح مختصری داده شده است و در بخش دوم این فصل در خصوص تعاریف مربوط به گراف و عامل های مثلثی بحث شده است. فصل دوم به اثبات وجود زیرگراف های مثلثی در گراف های کامل 3m راسی و عامل های مثلثی اختصاص دارد، در این فصل کران بالا و پایین برای مجموعه های ماکسیمال از عامل های مثلثی ارائه می دهیم. در فصل سوم نیز ابتدا یک الگوریتم کلی برای نوشتن طرح پراکنده ارائه می دهیم، سپس نشان می دهیم چگونه می توان بلوک های یک طرح پراکنده را به m-کلاس هم ارزی افراز کرد.که به واسطه آن می توان مجموعه های ماکسیمال از عامل های مثلثی روی 3n راس نوشت.

کد های تولید شده از ماتریس وقوع ساختار های ترکیبی به طور نسبتاً گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است . ارتباط بین طرح ها و کد ها نتایج جالب و مفیدی را فراهم کرده است. بهترین مرجع مورد استفاده در این زمینه کتاب اَسموس می باشد.برای هر p اول، کدهای خطی p-تایی ناشی از طرح های به دست آمده از گراف های قویاً منتظم توسط افراد مختلف بررسی شده است. فیش و دیگران گراف های خطی ناشی از ماتریس وقوع گراف همینگ را مورد بررسی قرار داده اند. در این پایان نامه نیز کدهای خطی ناشی از ماتریس وقوع و مجاورت گراف های مثلثی و گراف خطی آن ها بررسی شده است. برای هر n، گراف مثلثی (t(n، گراف خطی از گراف کامل kn یک گراف قویاً منتظم با 2/(n(n-1 رأس است. کد ناشی از ماتریس مجاورت این گراف برای n فرد دارای پارامترهای [n(n-1)/2 , n-1 , n-1] و برای n زوج دارای پارامترهای [n(n-1)/2 , n-2 , 2(n-2)] است. همچنین کد ناشی از ماتریس وقوع آن دارای پارامترهای [n(n-1)(n-2)/2 , n(n-1)/2 -1 , 2(n-2)] می باشد. کدهای مربوط به گراف های مثلثی توسط افراد مختلفی بررسی شده است. تانچِف در سال 1988 ارتباط بین کد و طرح را بیان نموده، براور و وَن اییل در سال 1992 p-رتبه ی گراف های قویاً منتظم را به وسیله قطری کردن ماتریس بررسی کرده،براور و وَن لیت در سال 1982 ، هیمِر در سال 1999 بعد کدهای دوتایی از ماتریس مجاورت گراف قویاً منتظم و همچنین بعد کد ناشی از a+i و a+j و دوآل آن ها را به دست آورده است. این پایان نامه در سه فصل تنظیم گردیده است: در فصل اول تعاریف و پیش نیازهایی در خصوص کد و گراف بیان شده، p-رتبه ی مربوط به ماتریس مجاورت گراف های قویاً منتظم با استفاده از فرم نرمال اسمیت (snf) که روشی برای قطری کردن ماتریس است به طوری که درایه های روی قطر اصلی یکدیگر را عاد کنند محاسبه می گردد. در فصل دوم ابتدا قضایایی در مورد ماتریس وقوع و مجاورت گراف ها و در حالت خاص گراف قویاً منتظم ارائه می شود. در فصل سوم نیز کدهای ناشی از ماتریس وقوع گراف های مثلثی را در نظر گرفته، بعد و مینیمم وزن این کدها و گراف خطی ناشی از آن ها بررسی شده است.

در این پایان نامه، نشان می دهیم که در کد خود دوآل زوجی مضاعف از طول ‎ n ‎ رویgf(2) ، ‎ nقابل تقسیم بر ‎8‎ و ‎ d?4[n/24]+4 ‎ است. کد زوجی سه گانه خطی دوتایی کدی است که وزن تمام کلماتش قابل تقسیم بر ‎8‎ است. ما نشان می دهیم که چگونه از ترکیب دو کد زوجی مضاعف از طول های ‎ n ‎ وm ‎، کد زوجی سه گانه از طول ‎ m+n ‎ بسازیم، همچنین روش های دیگری برای ساخت کد زوجی سه گانه از کد زوجی مضاعف ارائه می دهیم.

در فصل اول ابتدا مفاهیم و تعاریف اولیه مربوط به آرایه ی متعامد را معرفی کرده و سپس انواع آرایه های متعامد را بیان می کنیم و در پایان برای ارایه ی روش های ساخت این آرایه ها ماتریس آدامار و ماتریس تفاضلی و هم چنین ضرب کرونکری را معرفی می کنیم. در فصل دوم، مرتبه ی آرایه g=2,3 فرض شده و رابطه ی آرایه های متعامد از مرتبه ی 2 و مربعات لاتین مورد بررسی قرار می گیرد. در ادامه با معرفی نامساوی پلاکت و بورمن و ثابت کردن این نامساوی، کرانی برای تعداد ستون های آرایه ارایه می شود. در انتهای فصل روش هایی برای ساخت آرایه های متعامد تقسیم پذیر کامل از مرتبه ی 2 بیان می شود. در فصل سوم با توجه به مطالب اولیه و تعاریف ابتدایی آرایه های تودرتو در فصل اول، به دنبال شرایط وجود این نوع آرایه ها هستیم. هرچند برای وجود آرایه ی ( noa((n,m),k,(s,r),g حتما باید وجود آرایه ی( oa(m,k,r,g و آرایه ی (oa(n,k,s,g مورد بررسی قرار گرفته باشد، در ادامه فصل به کمک قضایا، کران هایی برای تعداد ستون ها یعنی k ارایه کرده و از بین این کران ها، کران بهتر را معرفی می نماییم. در انتهای فصل معادله ای را معرفی می کنیم که هیچ کدام از ریشه های آن بیشتر از k نباشد. این معادله کاربردی از قضایای مطرح شده در این فصل است. با توجه به مطالب اولیه در مورد آرایه های تودرتو که در فصل اول و سوم به آن اشاره کردیم، در فصل چهارم روش های ساخت این آرایه ها را بررسی می کنیم، در ابتدای فصل با اشاره به قضیه ای در مورد آرایه های متعامد معمولی، آرایه های تودرتو را می سازیم که در آن s توانی از 2 است و در ادامه به کمک ماتریس آدامار و ماتریس تفاضلی و همین طور آرایه های متعامد تقسیم پذیر، نوع دیگری از آرایه ها را که در آن لزوما s توانی از 2 نیست معرفی می کنیم.

در این رساله برخی خواص کدهای ‎‎$ ‎1‎ $‎-کامل‎‎ ‎(توسیع‎ یافته ) کوتاه شده سه گانه (سه بار کوتاه شده) مطالعه شده است. ‎ ‎نشان‎ داده شده هر ‎$ ‎(n=2‎^{m}-3, ‎2‎^{n-m-1}, ‎4) ‎$‎ کد دلخواه ‎$ ‎c‎ $‏،‎ یعنی کدی با پارامترهای یک کد همینگ توسیع یافته ی سه بار کوتاه شده‏، حفره ای از یک افراز متعادل برای ‎$ ‎n‎ $‎-مکعب با شش حفره است. علاوه بر این ‎ هر ‎$ ‎(n=2‎^{m}-4, ‎2‎^{n-m}, ‎3) ‎$‎‎ کد دلخواه ‎$ ‎d‎ $‏،‎ یعنی کدی با پارامترهای یک کد همینگ سه بار کوتاه شده‏، حفره ای از یک ‎‎خانواده متعادل برای ‎$ ‎n‎ $‎-مکعب با شش حفره است.

کدهای دوری زیرکلاسی از کدهای خطی‎‎ هستند که به دلیل داشتن الگوریتم های کدگذاری و کدگشایی کارآمد در مصارف الکترونیکی‏، سیستم های ذخیره سازی اطلاعات و سیستم های تبادل اطلاعات کاربرد دارند. برای مثال‏، کدهای رید-سولومون از تبادل اطلاعات در عمق فضا گرفته تا وسایل الکترونیکی کاربردهای مهمی پیدا کرده اند. این کدها به طور آشکار در مصارفی همانند سی دی ها‏، دی وی دی ها‏، دیسک های بلورَی و تکنولوژی انتقال اطلاعات همانند ‎dsl‎‏ و ‎‎‎‎wimax‎‏ استفاده می شوند. در این پایان نامه‏، بعضی از چندجمله ای های روی میدان های متناهی‏، برای ساختن تعدادی از خانواده های کدهای دوری‏، استفاده می شود. کران‏ پایینی برای کمترین وزن کدهای ساخته شده در این پایان نامه پیدا می کنیم. بعد این کدها ‎‏متنوع‎ است. بیشتر کدهای ارائه شده در این پایان نامه بهینه یا تقریبا بهینه اند به این مفهوم که با کران کدهای خطی بهینه مواجه می شوند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

فرض کنیم s مجموعه ای با اندازه ی n و p مجموعه ی تمام زیرمجموعه های 3 عضوی s باشد. سه گراف a1، a0 و a2 با مجموعه رئوس p در نظر می گیریم به طوری که دو رأس، به عنوان مجموعه ی 3 عضوی، زمانی در ai i=0,1,2، با هم مجاورند که در i نقطه اشتراک داشته باشند. ما به بررسی کدهای دوتایی و سه تایی حاصل از ماتریس مجاورت هر یک از این سه گراف می پردازیم و پارامترهای اصلی آنها را به دست می آوریم. همچنین نشان خواهیم داد که روش کدگشایی به وسیله ی جایگشت ها برای برخی از این کدها قابل استفاده است.

در این پایان نامه به شمارش کدهای خوددوآل دوتایی تا طول 32می پردازیم و البته به بررسی نوع خاصی از کدهای خوددوآل به نام به طور خوددوآل صوری می پردازیم. کدهای تقریبا اکسترمال تعریف و انواع آن بررسی میشود.

تریدها مفاهیمی ترکیباتی هستند که در سه دهه اخیر در ساختمان ‏‎t‎‏- طرحها تعریف شده و اصولا برای ساختن طرحهای جدید با اندازه محمل متفاوت از یک ‏‎t‎‏- طرح داده شده، ارائه شده اند.