در این پایان نامه کرانداری و فشردگی عملگرهای ترکیبی روی فضاهای ارلیس -لورنتس را بررسی می کنیم. برای این هدف به توصیف تعاریف زیر می پردازیم.

در این پایان نامه عملگرهای ترکیبی و ضربی را که بوسیله نگاشتهای عملگر مقدار روی فضاهای بوخنر (لورنتس بوخنر و پایا بازارایشی بوخنر ) تولید می شوند را موردمطالعه قرار داده، بسته بودن برد، فشردگی و طیف آنها را بررسی می نماییم. در ضمن این پایان نامه براساس مرجع زیر تنظیم شده است. s. c. arora, g. datt and s. verma, multiplication and composition operators on lorentz-bochner spaces, osaka j. math. 45 (2008), 629–641.

بنام خدا متناظر با هر زیر جبر متناهی از جبرمتناهی عملگر (به اختصار را با نشان می دهیم ) موسوم به عملگر امید شرطی تعریف شده روی فضای توابع اندازه پذیر و یا روی فضاهای برای وجود دارد که با شرایط زیر به طور یکتا معین می شود: (آ) یک تابع اندازه پذیر و انتگرال پذیر است. (ب) برای هر اگر موجود باشد، آنگاه این عمگر ابزار اصلی در این رساله است. حال با توجه به عملگر امید شرطی عملگر را به نام ضربگر لامبرت به صورت برای هر تعریف می کنیم که در آن یک تابع اندازه پذیر و شرط پذیر دلخواه به نام تابع وزن است. بررسی کرانداری در حالتهای مختلف، فردهلم بودن این عملگر، خودالحاق بودن، نرمال بودن و برخی ویژگی های دیگر این عملگر از اهداف اصلی این رساله است.

زیر فضاهای پایا در این پایان نامه به توضیح قضیه لومونوسف می پردازیم.

فرض کنیم b فضای باناخ متشکل از توابع تحلیلی تعریف شده روی حوزه کراندار g در صفحه مختلط وهمچنین ? یک چندجمله ای تحلیلی ویا یک تابع گویا و m? عملگر ضرب بوسیله ? باشد. تحت شرایط خاص روی ? و g ، تعویضگرهای m?، یعنی مجموعه تمام عملگرهای کراندار t را مشخص می کنیم که به ازای آنها داشته باشیم tm? = m?t. در مورد این فضا مثالهای متعددی را بررسی میکنیم.

در این رساله انواع مختلف قاب ها را در فضاهای هیلبرت و باناخ معرفی کرده و خواص آنها را بررسی می کنیم. ‎‎ ابتدا با الهام گرفتن از مفهوم ‎$x_{d}$-‎قاب ها، ‎$g-y_{v}$-‎قاب ها را در فضاهای باناخ معرفی کرده و عملگرهای ترکیب و تحلیل نظیر این قاب ها را با استفاده از مفهوم ‎$eta$-‎دوگان بدست می آوریم. همچنین مفهوم قاب های ‎$g$-‎باناخ را مطرح کرده و شرایط لازم و کافی برای وجود چنین قاب هایی را بدست می آوریم. سپس مفهوم عملگرهای ضربگر ‎$(x_{d}‎, ‎x_{d}^{*})$-‎بسل و ‎$(l^{infty}‎, ‎x_{d}‎, ‎x_{d}^{*})$-‎بسل را روی فضاهای باناخ معرفی کرده و نشان می دهیم که هر عملگر ضربگر ‎$(x_{d}‎, ‎x_{d}^{*})$-‎بسل یک عملگر فشرده می باشد. در ادامه به بررسی قاب های پیوسته می پردازیم و با بیان مفهوم دوگان قاب های پیوسته، شرایط لازم و کافی برای وجود و منحصر به فرد بودن دوگان یک قاب پیوسته را بدست می آوریم. همچنین با بکار بردن مفهوم قاب های پیوسته و ‎$p$-‎قاب ها بطور همزمان، مفهوم ‎$p$-‎قاب های پیوسته و دوگان این قاب ها را مطرح می کنیم. سرانجام به کمک تبدیل فوریه نوع جدیدی از قاب ها تحت عنوان دستگاه های شبه-فوریه را روی فضای هیلبرت ‎$l^{2}(mathbb{r})$‎ مطرح می کنیم و با در نظر گرفتن شرایطی روی مولدهای این قاب ها، ساختار صریحی برای دوگان این دستگاه ها می یابیم.

هدف این رساله، مطالعه قاب ها در فضاهای مختلف، به خصوص فضاهای باناخ و هیلبرت و استفاده از مفاهیم و ابزارهای مختلف آنالیزی برای توسعه و تعمیم قاب ها و بررسی ویژگی های آن ها به ویژه از دیدگاه پیوسته می باشد. ابتدا به بررسی بیشتر قاب های پیوسته پرداخته و با تعمیم مفهوم پایه های ریس، به مطالعه رابطه این تعمیم جدید با قاب های پیوسته می پردازیم. همچنین نتایجی در مورد ارتباط تصویرها و قاب های پیوسته، توصیف عملگرهای متناظر یک قاب پیوسته به کمک مفهوم اندازه پذیری بوخنر و انتگرال پذیری بوخنر و رده بندی عملگرهای هیلبرت-اشمیت به کمک قاب های پیوسته را بیان خواهیم کرد. سپس قاب های‎-(p,y) ‎عملگر بوخنر که در واقع حالت پیوسته قاب های ‎-(p,y)‎عملگر می باشد را معرفی می کنیم. در ادامه، مفهوم ‎-p‎قاب های زیرفضاهای بوخنر برای فضاهای هیلبرت را معرفی کرده و ویژگی های این نوع قاب ها را نیز بررسی خواهیم کرد. سرانجام، با الهام از ‎-pg‎قاب ها، مفهوم ‎-pg‎قاب های بوخنر برای فضاهای باناخ را معرفی خواهیم نمود و عملگرهای متناظر آن ها را معرفی کرده و مشخصه های این نوع قاب ها را بررسی خواهیم کرد و سپس ‎-qg‎پایه های ریس بوخنر را معرفی کرده و رابطه بین آن ها و ‎-pg‎قاب های بوخنر را مطالعه خواهیم نمود.

در این پایان نامه ارتباط بین یک شیفت زیرنرمال و اندازه تولید شده توسط دنباله های گشتاوری و گردایه‎ ‎‎ی وسیعی از شیفت‎ ‎‎های وزن دار‎‎ مرتبط با شیفت اصلی بررسی می شود. همچنین تاثیر افزودن جمله جدید به دنباله وزنی یا جابجایی دو جمله در دنباله وزنی مورد تحلیل قرار می گیرد. علاوه بر این فرمول هایی برای ارزیابی نقطه جرمی در مبدا با اندازه مرتبط با شیفت را بدست می آوریم. افزون بر این مطالب‏، ارتباط بین اندازه مرتبط با شیفت زیرنرمال و گردایه ا‎‎ی از شیفت ها که تفاوت عمده با شیفت اصلی دارند را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

در این پایان نامه عملگرهای p-*-پارانرمال را تعریف کرده و ویژگی هایی از این رده از عملگرها را تشریح می کنیم.همچنین ثابت می کنیم عملگرهای p-*-پارانرمال قطبی شده است سپس یک شرط لازم و کافی برای خودالحاق بودن یک خودتوان ریس وابسته به یک نقطه تنهای غیرصفر از طیف یک عملگر p-*-پارانرمال داده می شود. در نهایت بعضی از عملگرهای متناهی را معرفی کرده و شرطی برای متناهی بودن عملگرها ارائه می دهیم.

این پایان نامه بر اساس ‎[21]‎ تنظیم شده است و شامل سه فصل است. فصل اول شامل برخی تعاریف و مفاهیم مقدماتی مربوط به رده مختلف از عملگرها می باشد. یکی از تعاریف مهم و اساسی که در آن بیان شده است، تعریف تبدیل آلوسگه می باشد. کسانی چون جونگ ‎footnote{jung}‎و پیرسی ‎footnote{peracy}‎نتایج زیادی با استفاده از آن به دست آوردند که رده بیشتری از آن مربوط به عملگرهای غیر نرمال می باشد. در فصل دوم تجزیه قطبی تبدیل آلوسگه، مربوط به یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت را بررسی می کنیم. همچنین شرط لازم و کافی برای بی نرمال بودن عملگرهای کراندار را با استفاده از تبدیل آلوسگه آن ارائه می دهیم. همانطوریکه خواهیم دید، ‎{t}‎ تبدیل آلوسگه ‎$t$‎، خواص بهتری نسبت به خود ‎$t$‎ دارد. با این وجود با ارائه مثالی از یک عملگر بی نرمال ‎t‎ نشان خواهیم داد که ‎{t}‎ لزوما بی نرمال نیست. همچنین شرط معادلی را برای بی نرمال بودن ‎tilde{t}_k‎ ارائه می دهیم. در قصل سوم عملگرهای مرکزی شده را تعریف کرده و ساختارهایی از عملگرهای مرکزی شده را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه وجود نقاطی از زیرمجموعه ‎$‎‎‎s$‎ ‎از یک فضای خطی ‎$‎‎‎x$‎ ‎را که کوتاه ترین فاصله تا نقطه ای مانند ‎$‎‎‎x$‎ ‎از ‎$‎x‎$ ‎‎ ‎را با یک نرم نامتقارن ‎$‎‎‎q$‎ بدست می دهند,‎ ‎مورد‎ بررسی قرار می دهیم‎‎‎ ( ‎$‎q$‎‎‎ -نزدیک ترین نقاط). چون ساختار یک نرم نامتقارن در حالت کلی منحصربفردی چنین نقاطی را نمی دهد -زیرا خواص جداسازی در این فضاها در حالت کلی ضعیف تر از فضاهای نرم دار می باشد- لذا ‎روشی‎ را برای پیدا کردن زیرمجموعه های خاص از مجموعه ‎$‎‎‎q$‎ ‎-نزدیک ترین نقاط -که نقاط فاصله بهینه می نامیم- ‎که با نرم ‎$‎‎‎q‎^{s}‎$‎ ‎مربوط به نرم نامتقارن ‎$‎‎‎q$‎ ‎نیز بهینه اند,‎ ‎ارائه‎ می دهیم.