در این پایاننامه؛ در بخش اول به بیان مقدماتی می پردازیم که در درک هر چه بهتر این مقاله ، ما را یاری خواهند کرد. در بخش دوم، تاثیر بعد کوهمولوژیکی ایدآل i از یک حلقه نوتری، بر بسته بودن کوهمولوژی موضعی یک مدول متناهی مولد دلخواه بررسی می شود. در بخش سوم، ثابت می کنیم که به ازای هر i و ایدآل i محمل i-امین فانکتور کوهمولوژی موضعی نسبت به i بسته است هرگاه m مدولی متناهی مولد روی یک حلقه موضعی نوتری با بعد حداکثر چهار باشد. در بخش چهارم، به نتیجه مهمی در مورد حلقه نوتری که دارای مشخصه اول p است ، دست می یابیم. در بخش پنجم، تاثیر تعداد مولد های ایدآل i از یک حلقه نوتری بر بسته بودن محمل کوهمولوژی موضعی، بررسی می گردد.

روش های تعقیب مسیر اولیه-دوگان از کارآمدترین روش های نقطه درونی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی، مسائل درجه دوم، مسائل مکملی و مسائل بهینه سازی مخروطی هستند. این روش ها از لحاظ عملی بسیار موثر بوده و دارای پیچیدگی چندجمله ای ‎می باشند. در این رساله مسائل بهینه سازی خطی و دسته ای از مسائل مکملی تحت عنوان مسائل ‎$‎p_*(kappa)‎$‎-مکملی خطی را در نظر می گیریم و تلاش می کنیم که الگوریتم های تعقیب مسیر با پیچیدگی بهتر و نتایج محاسباتی رضایت بخش تر نسبت به الگوریتم های پیشین ارائه دهیم و یا حداقل به بهترین پیچیدگی که تاکنون ارائه شده برسیم. همچنین روش هایی را برای کمتر کردن فاصله ای که از لحاظ نظری بین الگوریتم های با طول گام کوتاه و الگوریتم های با طول گام بلند وجود دارد، مورد بررسی قرار می دهیم. یکی از ‎‎مزیت های روش های نقطه درونی قابلیت تعمیم آن ها به انواع مختلفی از مسائل بهینه سازی است. در این رساله دو نمونه از این تعمیم ها مدنظر قرار می گیرند. ‎

فرض کنید g=(v,e) گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یال e بوده و r=k[x1 , … , xn] حلقه چند جمله ای ها روی میدان k باشد. ایده آل i(g)، را ایده آل یالی گراف گوئیم هرگاه توسط تک جمله ای های xixj تولید شود که درآن {xi,xj} یالی از گراف است. زیرمجموعه ی w از مجموعه رئوس گراف را مستقل گوئیم هرگاه هیچ دو راسی از w مجاور نباشند. رابطه ی بسیار نزدیکی بین ایده آل یالی وهمبافت استقلال گراف،ind(g)، همبافتی با مجموعه رئوس v که وجه های آن مجموعه های مستقل g هستند، وجود دارد. به ازای هر گراف g، بعد تصویری g، pd(g)، همان بعد تصویری r-مدول ri(g) تعریف می شود. ثابت می کنیم که v(g) – i(g) < pd(g) < |v(g)| –{ epsilon(g) , tau(g) } و سر انجام با ارائه ی تعاریفی از ‎ c_{q}( delta ) ‎ و ‎ q-امین گروه همولوژی همبافت استقلال گراف، نتایجی را در باب کراندار کردن بعد تصویری گراف بیان می کنیم

بازی احاطه ای بر روی گراف های ساده ی بدون جهت توسط دو بازیکن $mathcal d$ و $mathcal a$ انجام می شود. هر یک از این بازیکنان در نوبت بازی خود یک یال بدون جهت را انتخاب و آن را جهت گذاری می کنند. بازی را بازیکن $mathcal d$ شروع می کند و در جهت گذاری یال ها به دنبال کاهش عدد احاطه ای گراف جهت داری است که در انتهای بازی به دست خواهد آمد، در حالی که بازیکن $mathcal a$ به دنبال افزایش این عدد است. عدد احاطه ای گراف جهت دار به دست آمده در انتهای این بازی را عدد بازی احاطه ای گراف $g$ می گویند و با $ gamma_g(g) $ نمایش می دهند. اولین بار آلن و همکارانش ${ m (discrete math 256(2002), 23-33)}$ این بازی را که موضوعی مشترک میان نظریه ی بازی ها و مجموعه های احاطه گر در نظریه ی گراف ها است، تعریف کرده و کران $gamma_g(g)+gamma_g(overline{g})leq dfrac{2}{3}n+3$ را وقتی $ g $ و $ overline{g} $ هردو همبند باشند، به عنوان یک حدس مطرح نمودند. در این رساله کران مذکور را در حالتی که $g$ و $ overline{g} $ دارای راس تنها نباشد، اثبات می کنیم. در ادامه ی رساله بازی های احاطه ای جدیدی بر حسب زیرتقسیم یال ها تعریف شده است. اولین بازی با نام بازی زیرتقسیم احاطه ای قواعدی مشابه بازی احاطه ای دارد با این تفاوت که $mathcal d$ در نوبت های بازی خود یکی از یال های بدون علامت $g$ را علامت گذاری کرده و $mathcal a$ یال های انتخابی خود را زیرتقسیم و آن ها را علامت گذاری می کند. بازی زمانی تمام می شود که تمام یال های $g$ علامت گذاری شده باشند. اگر گراف نهایی را با $g$ نمایش دهیم، هدف $mathcal d$ در بازی مینیمم کردن $gamma(g)$ و $mathcal a$ به دنبال افزایش آن است. این عدد را عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای $ g $ می نامند و با $gamma_{gs}(g)$ نمایش می دهند. در بخش دوم این رساله، عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای در درخت ها بررسی و چند کران برای آن ارائه شده است. هم چنین عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای در چند رده از گراف ها به دست آمده است. پس از آن بازی جدید دیگری نیز تحت عنوان بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی تعریف می کنیم. جزئیات این بازی کاملا شبیه بازی زیرتقسیم احاطه ای است اما هدف بازیکن های $mathcal d$ و $mathcal a$ در این بازی به ترتیب کاهش و افزایش عدد احاطه ای رومی در گراف جهت داری است که در انتهای بازی به دست خواهد آمد. این عدد را عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی $ g $ گویند و با نماد $gamma_{rgs}(g)$ نشان می دهند. در بخش سوم این رساله عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی مورد بررسی قرار گرفته و چند کران قابل وصول برای آن در درخت ها ارائه شده است.

فرض کنید g = (v,e) گراف?بامجموعهرئوس v و مجموعه یال های e باشد و d = (v,a) یک گراف جهت دار بامجموعهرئوس v و مجموعه یال های a باشد.عدد احاطه ای خروجی یک گراف جهت دار d = (v,a) مینیمم اندازه یک زیرمجموعه s از v است، بطوریکه هر رأس در v-s همسایگی خروجی بعضی از رئوس در s باشد.عدد احاطه ای ورودی به طور مشابه تعریف می شود. اگر به ازای هر رأس v ?v?s ، رئوس u1, u2 ? s موجود باشند(ممکن است u1 و u2 بر هم منطبق باشند)بطوریکه v,u1),(u2,v) ? a(d))، آنگاه s یک مجموعه احاطه گر دوقلو در d نامیده می شود. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر دوقلو در d را عدد احاطه ای دوقلوی d نامیده و با ?^* (d) k نشان می دهند. برای گراف g، عدد احاطه ای دوقلوی جهت پذیر بالایی، ?dom?^* (g)، بیشترین مقدار عدد احاطه ای دوقلو است که روی تمامی جهت دهی های d از g گرفته می شود و عدد احاطه ای دوقلوی جهت پذیر پایینی، ?dom?^* (g)، کمترین مقدار عدد احاطه ای دوقلو است که روی تمامی جهت دهی های d از g گرفته می شود. در این پایان نامه ضمن مطالعه مجموعه های احاطه گر دوقلو و عدد احاطه ای دوقلو، چند کران مختلف برای عدد احاطه ای دوقلو در یک گراف جهت دار بدست می آوریم و به بررسی کرانهایی برای ?dom?^* (g)و ?dom?^* (g)خواهیم پرداخت.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

فرض کنید گرافی با مجموعه رأس های و مجموعه یال های باشد. زیر مجموعه مجموعه احاطه گر است، هرگاه هر رأس در مجاور با حداقل یک رأس در باشد. عدد احاطه ای ? ? مینیمم کاردینال مجموعه های احاطه گر در است. مجموعه احاطه گر همبند از گراف را مجموعه احاطه گر فراگیر همبند - مجموعه در نامند هرگاه مجموعه احاطه گر همبند در نیز باشد. عدد احاطه ای فراگیر همبند? ? مینیمم کاردینال مجموعه های احاطه گر فراگیر همبند در است. در این پایان نامه? مفهوم عدد احاطه ای فراگیر همبند یک گراف را مورد مطالعه قرار داده و کرانهایی را برای بدست می آوریم. همچنین پارامترهای وابسته به آن را بررسی خواهیم کرد.

چکیده ندارد.