فرض کنید گروهی دلخواه باشد. گوییم گروه دارای کوهمولوژی تناوبی با دوره تناوب q بعد از k -مرحله است اگر عملگرهای( ,-) و( ,-) به ازای هر i>k ، به طور طبیعی یکریخت باشند. این مساله که یکریختی های تناوبی چگونه القا شده باشند، دارای اهمیت زیادی در نظریه کوهمولوژی گروه هاست. در این پایان نامه شرایط معادل برای این که یکریختی های تناوبی به وسیله حاصل ضرب کاپ یک عنصر القا شوند را بررسی می کنیم . به عبارت دیگر نشان می دهیم که برای گروه ، با کوهمولوژی تناوبی شرایط زیر معادلند: (1) یکریختی های تناوبی به وسیله حاصل ضرب کاپ عنصری از( , ?) القا می شوند. (2) برای هر i>k، و هر -مدول تصویری p، 0=( ,p) . (3) دارای تحلیل کامل می باشد و اگر تحلیل کامل را با نماد ( )نمایش دهیم آن گاه برای هر i ، ( )= ( ).

حواص شیی تصویری گرنشتاین در یک رسته مثلثی

فرض کنیم x یک طرح، k(flat x) رسته هموتوپی بافه های نیمه چسبیده یکدست –ox مدولی و رسته هموتوپی هم بافت های یکدست باشد. نشان داده شده است که جفت یک جفت هم تاب کامل در است که در آن تصویر ضروری از رسته هموتوبی مجتمع های dg- هم تاب یک دست است. سپس به مطالعه رسته هموتوبی می پردازیم. نشان می دهیم در حالت آفین این رسته هموتوبی با تصویر ضروری از تابع گون نشاننده که توسط نیمن مطالعه شده است، معادل است. به علاوه، شرایطی را ارائه خواهیم داد که تحت آنها شمول ژ تبدیل به یک تساوی شود که در آن منظور از تصویری ضروری رسته هموتوبی مجتمع های یک دست هم تاب از بافه هاست. همچنین نشان می دهیم که کلاس گسترده ای از طرح های غیرنوتری x، بدون هیچ شرایط متناهی روی بعد کرول وجود دارند که برای آن ها یک هم ارزی رسته ای است. فرض می کنیم r یک حلقه و q یک کونیور ریشه دار چپ باشد. یک تعریف برای مفهوم «محض بودن» در رسته نمایش های کوتیور ارائه شده است. ثابت می کنیم که کلاس همه نمایش های محض تزریقی از q به وسیله r – مدول ها، پیش پوش است. در حالتی که r یک حلقه نوتری چپ است نشان می دهیم که هر نمایش یک دست هم تاب از q محض تزریقی است. به علاوه با شرایط –n کامل برای r، هر نمایش یک دست از q یک تحلیل محض تزریقی با طول حداکثر n دارد. فرض کنیم ظاهر شده اند. فرض کنید که جفت یک جفت هم تاب است. شرایطی را مورد مطالعه قرار می دهیم که ممکن است به انتقال داده شوند. نتایج ما اثباتی برای وجود پوشش یک دست روی کوئیورهای ریشه دار چپ ارائه می دهند.

فرض کنید r یک حلقه و q یک کویور دلخواه باشند. رسته نمایش های q توسط-r مدول ها و-rهمریختی ها که با rep (q ,r) نشان داده می شود یک رسته ی گروتندیک است. در این پایان نامه به بررسی برخی مباحث مرتبط با جبر همولوژیک نسبی در این رسته می پردازیم. به این منظور رسته ی هموتوپی همبافت ها از نمایش های تصویری و تزریقی q که به ترتیب با k(prj q) و k(inj q) نشان داده می شوند را در نظر می گیریم. زیر رسته هایی از دو رسته ی اخیر که شامل همبافت های تماماً دقیق بوده و به ترتیب با k_tac (prj q) و k_tac (inj q) نشان داده می شوند از اهمیت خاصی برخوردار هستند. ابتدا اشیای رسته های مذکور، یعنی همبافت های تماماً دقیق را مورد مطالعه قرار داده و رده بندی هایی برای چنین همبافت هایی بر حسب خواص موضعی آن ها ارائه می کنیم. یکی از ابزارهای اصلی جهت انجام این کار، تابعگرهای الحاقی چپ و راست تابعگر تحدید می باشند. سپس رده بندی های مذکور را به کار بسته و بحث وجود پیش پوشش های گرنشتاین تصویری را در رسته ی rep (q ,r)مورد توجه قرار می دهیم. نشان داده می شود که با در نظر گرفتن برخی شرایط بر حلقه ی زمینه ی r یا کویور q ، می توان وجود چنین اشیایی را در rep (q ,r) نتیجه گرفت. همچنین پیش پوشش گرنشتاین تصویری برخی نمایش های خاص کویور q را برحسب ویژگی های موضعی آن توصیف خواهیم کرد. وجود پیش پوش های گرنشتاین تزریقی در رسته ی rep (q ,r) را نیز به طور اجمالی مورد بررسی قرار می دهیم. با توجه به این که اشیای گرنشتاین رسته ی rep (q ,r) با استفاده از همبافت های تماماً دقیق تعریف می شوند، توصیف چنین همبافت هایی می تواند منجر به شناسایی اشیای گرنشتاین گردد. نشان می دهیم که چگونه می توان اشیای گرنشتاین تصویری، گرنشتاین تزریقی و گرنشتاین یکدست رسته ی rep (q ,r) را بر حسب خواص موضعی آن ها رده بندی کرد. سرانجام با در نظر گرفتن شرایطی برحلقه ی r نشان می دهیم که rep (q ,r) یک رسته ی گرنشتاین است اگر و تنها اگر هر همبافت دقیق از نمایش های تصویری q تماماً دقیق باشد اگر و تنها اگر هر همبافت دقیق از نمایش های تزریقی q تماماً دقیق باشد. به این ترتیب قضیه ی مهمی از کروزه و آینگار را تعمیم می دهیم. در پایان چگونگی انتقال خاصیت گرنشتاین مجازی از رسته ی r-مدول ها به رسته ی rep (q ,r)را مورد توجه قرار می دهیم.

تاریخ دفاع : 28/8/91 در این پایان نامه رسته ی هموتوپی نمایش های تصویری و تزریقی کویورها و همبافت ها را مطالعه میکنم . فرض کنید r یک حلقه و q یک کویور(گراف جهت دار) باشد. رسته ی هموتوپی نمایش های تصویری(تزریقی) از q توسط r-مدول ها را با نماد k(prj q) (k(inj q))، نمایش می دهیم. نشان می دهیم که، برای کویور های خاص، این رسته های مثلثی به طور فشرده تولید شده هستند و یک مجموعه مولد فشرده برای آنها معرفی می کنیم.به علاوه، در حالتی که r حلقه جابجایی و نوتری با همبافت دوگانی d باشد، عملگر دوگانیd??-:k(prj r)? k(inj r)را به عملگر مثلثی k(prj q)?k(inj^op q)، توسیع می دهیم و نشان می دهیم که این عملگر یک هم ارزی برای k(prj q) و k(inj q)، ایجاد می کند. فرض کنید c(r) رسته ی همبافت ها از r مدول ها باشد. نشان می دهیم اگر k(prj r) به طور فشرده تولید شده باشد آنگاه رسته ی هموتوپی همبافت ها ی تصویری که با نماد k(prj c(r))نشان داده می شود، به طور فشرده تولید شده می باشد. بر اساس این نتیجه نشان می دهیم که هر همبافت در c(r) دارای پیش پوشش تصویری گرنشتاین می باشد هرگاه rیک حلقه ی جابجایی با بعد کرول متناهی باشد. نتایجی مشابه و یا دوگان برای رسته ی هموتوپی همبافت های تزریقی نیز به دست می آوریم. اگر r دارای همبافت دوگا نی باشد، یک هم ارزی مثلثی بین رسته ی هموتوپی همبافت های تصویری و تزریقی نشان داده می شود. به عنوان یک کاربرد، ما یک هم ارزی بین k(gprj r)و k(ginj r) بدست می آوریم که به یک هم ارزی بین k(prj r) و k(inj r) تحدید می شود واژگان کلیدی: کویور، نمایش های تصویری و تزریقی، رسته هموتوپی، رسته ی مثلثی

فرض کنیم r یک حلقه باشد. یکی از رسته های مثلثی نظیر شده به آن، رسته مشتق شده کراندار میباشد. دو حلقه a و b را هم ارز مشتقی مینامیم هرگاه رسته های مشتق شده کراندار آنها به عنوان رسته های مثلثی با هم، هم ارز باشند. یکی از مسایل مهم در نظریه نمایش پیدا کردن و دسته بندی جبرهایی است که با هم، هم ارز مشتقی هستند. هاپل در سال 1986 در قضیه خود ثابت کرد که اگر a یک جبر آرتینی با بعد متناهی روی میدان بوده و m یک مدول اریب روی a باشد، آنگاه حلقه های a و end (m) هم ارز مشتقی هستند. این نتیجه بلافاصله توسط سه تن از ریاضیدانان به نامهای پارشال، اسکات و کلاین به حلقه های کلی بدن هیچ شرطی تعمیم یافت. سوالی که مطرح شد این بود که آیا هر هم ارزی مشتقی بین دو حلقه الزاما توسط یک مدول اریب القا میشود. سه سال بعد ریکارد به این سوال پاسخ مثبت داد. او ثابت کرد که دو جبر r و s، هم ارز مشتقی هستند اگر و تنها اگر s جبر خودریختی یک همبافت اریب در r باشد. از سوی دیگر، دنباله های آوسلندر-ریتن معرفی شدند نقش مهمی در نظریه نمایش جبرها ایفا میکند. در این پایان نامه با بازبینی و معرفی تعمیمی از دنباله های آوسلندر- ریتن، ارتباط زیبایی بین این رشته ها و مفهوم هم ارزی مشتقی حلقه ها بدست می آوریم. به عنوان نتیجه نشان می دهیم که هر دنباله آوسلندر-ریتن یک هم ارزی مشتقی القا میکند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

هدف ما در این پایان نامه، مطالعه نظریه های کوهمولوژی نسبی و تیت بناشده بر پایه مدول های تزریقی گرنشتاین است. برای کلاس مدول های با بعد تزریقی گرنشتاین متناهی، نشان می دهیم که ارتباط تنگاتنگی بین این دو نظریه کوهمولوژی و نظریه کوهمولوژی معمولی وجود دارد. این ارتباط به کمک یک دنباله ی دقیق طولانی از مدول های کوهمولوژی نشان داده می شود. با توجه به منشا پیدایش این دنباله آن را دنباله ی دقیق آوراموف-مارتسینکوفسکی می نامیم. به عنوان کاربرد مهمی از نظریه های کوهمولوژی فوق، دو نسخه ی جدید از نظریه ی کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته گروتندیک با نام های کوهمولوژی موضعی گرنشتاین و کوهمولوژی موضعی تیت ارائه می دهیم. ارتباط بین این دو نظریه با کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته بررسی شده و نشان می دهیم مطالعه ی خواص آنها، منجر به نتایجی پیرامون صفرشدن یا متناهی بودن مدول های کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته خواهد شد.