در این پایان نامه ابتدا در مورد خود فضای بلمبرگ توضیحاتی داده شده است،سپس تعمیم هایی از آن مانند فضاهای قویاٌ بلمبرگ و فضاهای بلمبرگ ضعیف و ... بررسی شده است.

ابتداvnl-حلقه را بعنوان تعمیم مشترکی از حلقه های موضعی ومنظم تعریف وسپس به توصیف vnl-حلقه های آبلی،نیم کامل وvnl-لقه هایی که شامل عنصر خودتوانeهستند به طوری کهereحلقه بخشی نباشد،پرداخته ایم.

این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است. در فصل اول به تعاریف، مفاهیم و قضایای اولیه مورد نیاز از جمله مجموعه های مرتب و انواع ترتیب، اعداد ترتیبی و اعداد اصلی، تعاریف جبری، pi-حلقه ها، جبر ویل، کرانداری و نظریه تاب موروثی و ... پرداخته ایم. در فصل دوم مفاهیم بعد گلدی و حلقه گلدی را طرح کرده ایم و ثابت کردیم که اگر m یک مدول با بعد گلدی متناهی باشدو k1,k2 زیر مدول های m باشند بطوریکه اشتراک k1,k2 در m مکمل باشد، آن گاه g-dim (k1+k2)= g-dim k1 + g-dim k2 - g-dim (k1+k2) در فصل سوم بعد کرول را تعریف کرده و قضایای مورد نیاز آن را بیان کردیم. در فصل چهارم ثابت کردیم که اگر r و s دو حلقه باشند و m یک مدول دوطرفه ی نویتری (r-مدول راست و s-مدول چپ) باشد، r-مدول راست m آرتینی است اگر و فقط اگر هر زیر مدول اول تحویل ناپذیر از r-مدول راست m ماکسیمال باشد.

چکیده: فرض کنیم r یک حلقه جابجایی و یکدار باشد و همه مدول ها یکانی باشند. در این پایان‏نامه، تعمیم‏های گوناگون از ایدآل اولیه و مدول‏های اولیه مورد بررسی قرار می‏گیرند. برای مثال ایدآل i به طور ضعیف اولیه است اگر هرگاه ایجاب کند که یا . همچنین یک زیرمدول سره n از r- مدول m یک زیرمدول به طور ضعیف اولیه است. هرگاه نتیجه بدهد که یا جایی که . در ادامه این پایان‏نامه، ایدآل های تقریباً اولیه و زیرمدول های تقریباً اولیه را به ترتیب به عنوان تعمیم جدیدی از ایدآل های به طور ضعیف اولیه (و زیرمدول های اولیه) معرفی می کنیم و نشان می دهیم زیرمدول های به طور ضعیف اولیه (مدول های اولیه) بسیاری از ویژگی های ایدآل های اولیه (زیرمدول های اولیه) را دارا هستند.

نامساویها مهمترین ابزارهای ریاضی محض و کاربردی هستند و حتی از تساویها نیز بسیار مهمترند. اما در تحقیقات و پژوهشهای آموزسش ریاضی توجه کمی به آنها شده است اغلب دانش آموزان درک درستی از تفاوت بین مساویها ونامساویها ندارند. یکی از این نامساویهای بسیار مهم و کاربردی نامساوس میانگین حسابی هندسی است که از اساسی ترین نامساویها در کل ریاضیات میباشد و اثباتهای متعددی توسط ذانشمندان بزرگی همچون پولیا، کوشی، مک لورن ، هاردی، گاوس و ... برای آن ارائه شده است. با توجه به اهمیت ا ین موضوع در این پایان ن تامه ابتدا به موضوع نامساویها و روابط و اهمیت آنها پرداخته و پس از بیان چند نامساوی مهم به نحوه عملکرد دانش آموزان در برخورد با نامساویها میپردازیم. چون رویدادهای تاریخی میتوانند نقش مهمی را د ر یادگیری ریاضی بازی کنند لذا در فصل دوم سیر تالریخی نامساویها ونامساوی حسابی هندسی رابیان نموده ایم در فصل سوم تعدادی از اثباتهای این نامساوی را ارائه نموده و در فصل چهارم مسائل بسیار متنوعی که تکنیک حل آنها نامسوی مذکور میباشد را بیان میکنیم این نامساوی یکی از سلاحهای بسیار مفید در حل مسائل المپیاد ریاضی اسشت و بسیاری از مسائلی که حل آنها به ظاهر سخت و غیر ممکن است با تگکنیک استفاده از این نامساوی به ئراحتی به جواب میرسند. در انتها به مقایسه موردی و همچنین مقایسه و تجزیه و تحلیل اثباتهای ارائه شده پرداخته و نتیج قابل ذکر بیان میشود.این نامسصاوی در کل ریاضیات نقش بسزایی دارد آشنایی دانش آموزان دبیرستان با این نامساوی ضروری است متاسفانه منابع پر از نامساویهای غیر طبیعی است این یکی از دلایل به وجودآمدن ترس در برخی دانش آموزان و دانشجویان است که قادرر به حل نامساویها نیستند حال آنکه نمی دانند حتی ئانشمندان بزرگ هم قادرز به حل این نامساویها نیستند.

در این پایان نامه نشان داده شده است که اگر m یک r-مدول راست خود مولد باشد، آنگاه m,m-ناتکین و cs خواهد بود اگر وتنها اگر m,m-بسته باشد و (end(mیک حلقه ی ppی راست باشد. در حالت خاص، cs-حلقه های راست ناتکین راستr,r-بسته ی راست و ppی راست هستند. به عنوان یک کاربرد نشان خواهیم داد که برای هر دامنه ی دلخواهr,r^2,cs راست است اگر وتنها اگر r دامنه ی ار دو طرفه باشد این امر پاسخ سوالی است که پیش از این در حالت های خاص مطرح می شد. در یک کاربرد دیگر نشان می دهیم که برای هر حلقه ی منظم ون نیومن r,حلقه ی ماتریسی(m(r ، به طور ضعیف خود انژکتیو راست است اگر وتنها اگر r خود انژکتیو راست باشد.

این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل است. در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی مورد نیاز و بعضی از قضیه ها که در فصل های بعد به کار می روند، می پردازیم. فصل دوم به بررسی مولدها و فضاهای شبه فشرده اختصاص دارد. دراین بخش به بیان دو لم و یک قضیه اساسی دراین رابطه می پردازیم. فصل سوم این پایان نامه اختصاص به وجود شبه مکمل ها دارد. دراین بخش یک قضیه اساسی که وجود شبه مکمل برای مشبکه راثابت می کندآورده شده است. درفصل چهارم . فضاهاوارتباط آنهابا نیم میدان آورده شده است. درنهایت فصل آخراین پایان نامه به بیان برخی از ویژگیهای فضاهای توپولوژی برحسب هسته هااختصاص دارد. این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل است. در فصل اول به بیان مفاهیم اساسی مورد نیاز و بعضی از قضیه ها که در فصل های بعد به کار می روند، می پردازیم. فصل دوم به بررسی مولدها و فضاهای شبه فشرده اختصاص دارد. دراین بخش به بیان دو لم و یک قضیه اساسی دراین رابطه می پردازیم. فصل سوم این پایان نامه اختصاص به وجود شبه مکمل ها دارد. دراین بخش یک قضیه اساسی که وجود شبه مکمل برای مشبکه راثابت می کندآورده شده است. درفصل چهارم . فضاهاوارتباط آنهابا نیم میدان آورده شده است. درنهایت فصل آخراین پایان نامه به بیان برخی از ویژگیهای فضاهای توپولوژی برحسب هسته هااختصاص دارد.

در این پایان نامه انقباض ساکل حلقه توابع پیوسته را توسط یک همریختی حلقه ا ی مورد مطالعه قرار می دهیم همریختی حلقه ا ی بطورکلی ساکل حلقه ی هم دامنه را به یک ایدآل مشمول در ساکل حلقه ی دامنه منقبض نمی کند. همریختی های حلقه ای به ندرت ساکل حلقه را به ساکل یک حلقه (دامنه همریختی) منتقل می کنند. در اینجا شرایطی را پیدا می کنیم که با اعمال آنها روی یک همریختی چارچوبی باعث می شوند که همریختی حلقه ای تولید شده ساکل هم دامنه را به یک ایدآل مشمول در ساکل دامنه منقبض کند. همریختی های چارچوبی پوشا همریختی های حلقه ای القا می کنند که ساکل را به ساکل منقبض می کنند. این همریختی ها مشخص می کنند که -p چارچوب ها دارای این خاصیت هستند یعنی وقتی که l یک -p چارچوب به عنوان دامنه در نظر گرفته شود، خاصیت فوق را دارا خواهد بود.

در این پایان نامه پس از مـقدمات موردنیاز, مفهوم مدول های بسته صحیح را شرح داده و نشان می دهیم که دامنه صحیح r بسته صحیح است اگروتنها اگر یک r-مدول تصویری متناهی مولد فارغ از تاب, بسته صحیح موجود باشد. همچنین مفهوم زیرمدول های معکوس پـذیر را توضیح داده و ثابت می کنیم که زیرمــدول های معکوس پذیریک مـدول تصویری متناهی مولدروی یک دامنه؛ تصویری و متناهی مــولد هستند. مدول های ددکیند را تعریف کرده و شرایط معادل برای مدول های ددکیند و دامـــنه های ددکیند ارائه خواهیم کرد و دربخش آخر برای یک r-مدول مانند m مفهوم o(m)-مدول را شرح داده و نیزبه بیان رابطه بین مدول ددکیند متناهی مولد فارغ از تاب m و زیرمدول های اول o(m)-مدول m و حلقه o(m) می پردازیم.

برای بیان مسئله ابتدا به تعاریفی که در زیر آورده شده اند نیاز داریم: 1 - اگر x یک فضای توپولوژی باشد، a?x را هیچ جا چگال گوییم هرگاه ?)= int(cl a و زیرمجموعه ی a از x را یک مجموعه ی ضعیف گوییم هرگاه a اجتماع شمارش پذیری از مجموعه های هیچ جا چگال باشد. 2 - فضای x را بئر گوییم هرگاه هر اشتراک شمارش پذیری از مجموعه های چگال و باز در x چگال باشد. 3 - فضای x را d- بئر می نامیم هرگاه هر زیرمجموعه ی چگال آن یک فضای بئر باشد. 4 - فرض کنیم x یک فضای بئر باشد الف) x را یک فضای d’-بئر می نامیم اگر هر مجموعه ی با درون تهی یک مجموعه ی هیچ جا چگال باشد. ب) x را یک فضای d’- بئر گوییم هرگاه دارای یک زیرفضای گسسته ی چگال باشد. 5 - اگر x یک فضای توپولوژی باشد، ?- جبر تولید شده توسط همه ی مجموعه های باز و همه ی مجموعه های هیچ جا چکال را با pb(x) نمایش می دهیم. 6 - فضای توپولوژی x را تجزیه ناپذیر موروثی می نامیم اگر هر زیرمجموعه ی باز از x تجزیه ناپذیر باشد؛ یعنی، نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه ی مجزای چگال نوشت. در این پژوهش قصد داریم فضاهای d- بئر؛ یعنی، فضاهایی که در آن ها هر زیرفضای چگال، یک فضای بئر است را مورد مطالعه قرار دهیم. فضاهای توپولوژی بسیار زیادی وجود دارند که دارای خاصیت فوق هستند، به عنوان مثال فضاهایی که دارای یک زیرمجموعه ی باز گسسته باشند دارای این خاصیت می باشند، مثلاً توسیع موضعاً فشرده و هاسدورفِ یک فضای گسسته. هر تقریباً p- فضای بئر نیز یک فضای d-بئر است. در این نوشتار مشخصه سازی های مختلفی برای فضاهای d-بئر ارائه خواهیم داد. همچنین یک شرط کافی برای این که یک فضای d-بئر، متریک پذیر باشد پیدا خواهیم کرد. در انتها خواصی را به دست خواهیم آورد که تحت ضرب متناهی و توابع پیوسته و باز حفظ می شوند. در ادامه بعضی از نتایج را به طور خلاصه بیان می کنیم. ? فرض کنیم x یک فضای بئر باشد. در این صورت x یک فضای d-بئر است اگر و تنها اگر هر g?- مجموعه با درون تهی در x یک مجموعه ی هیچ جا چگال باشد. ? هر تقریباً p-فضای بئر یک فضای d-بئر است ? برای یک فضای x، گزاره های زیر معادل اند: (1) x یک فضای d-بئر است. (2) x یک فضای بئر است و هر g?-مجموعه با درون تهی، هیچ جا چگال است. (3) هر زیرمجموعه ی ضعیف a?x هیچ جا چگال است. (4) x بئر است و هر -g? مجموعه، درونِ چگال دارد. (5) x بئر است و هر مجموعه در خانواده یpb(x) با درونِ تهی، یک مجموعه ی هیچ جا چگال است. (6) x بئر است و هر مجموعه ی بورل با درونِ تهی، یک مجموعه ی هیچ جا چگال است. (7) x بئر است و اجتماع یک g? -مجموعه با درون تهی و یک مجموعه ی ضعیف از x هیچ جا چگال است. ? هر زیرمجموعه ی باز یک فضای d-بئر یک فضای d-بئر است. ? هر فضای d’-بئر یک فضای d-بئر است. ? با فرض v=l، مجموعه ی نقاط منفرد یک فضای d’-بئر در آن فضا چگال است و بنابراین v=l نتیجه می دهد که یک فضا d’-بئر است اگر و تنها اگر d’’-بئر باشد. ? هر فضای متریک d-بئر، یک فضای d’’ -بئر است. ? فضای توپولوژی x، یک فضای d’ - بئر است اگر و تنها اگر x یک فضای بئر و تجزیه ناپذیر موروثی باشد.

در این پایان نامه هیات هایی را که دارای زیرحلقه ماکسیمال هستند را رده بندی می کنیم. به عنوان نتیجه خواهیم دید که هر میدان ناشمارا یا میدان هایی با مشخصه صفر همواره دارای زیرحلقه ماکسیمال هستند. همچنین به بررسی وجود زیرحلقه های ماکسیمال در حلقه های تعویض پذیر به ویژه حلقه های نویتری و آرتینی می ئردازیم. خواهیم دید که حلقه های آرتینی مانن میدانها هستند. یعنی هر حلقه آرتینی با مشخصه صفر یا با ناشمارا عضو دارای زیرحلقه ماکسیمال است. در انتها نشان می دهیم که چه موقع حاصلضرب دو حلقه دارای زیرحلقه ماکسیمال است، در واقع نشان می دهیم که حاصلضرب دو حلقه دارای زیرحلقه ماکسیمال است اگر و تنها اگر یا یکی از مولفه ها دارای زیرحلقه ماکسیمال باشد و یا آن دو حلقه دارای خارج قسمت های یکریخت باشند. همچنین نشان می دهیم که هر حلقه که شبه دوطرفه نباشد دارای زیرحلقه ماکسیمال است. در واقع نشان می دهیم که ایدال ساز ایدالهای یکطرفه ماکسیمال که دو طرفه نباشند زیرحلقه های ماکسیمال حلقه هستند.