مطالعه عملگرهای کراندار یکی از موضوعات مهم در بحث نظریه عملگرها می باشد. ساده ترین نمونه ماتریس ها هستند که در تمام گرایش های ریاضی وجود دارند. ماتریس ها در ریاضیات معرفی شدند و تا امروز ویژگی های آنها بررسی می شود زیرا آنها نقش مهمی در ریاضی و کاربردهای آن بازی می کنند. این پایان نامه به مفهوم مهمی دررابطه با عملگرها به نام بردعددی، و به طور خاص بردعددی ماتریس ها اشاره می کند.مشابه مفهوم طیف، بردعددی یک ماتریس n*n مجموعه اعداد مختلطی است که به طور طبیعی وابسته به آن ماتریس می باشد. طیف یک ماتریس یک مجموعه گسسته است، در صورتی که بردعددی می تواند مجموعه ای فشرده و محدب باشد. بردعددی را می توان تصویری از خود ماتریس در نظرگرفت که حاوی اطلاعات مفیدی در مورد ماتریس می باشد که طیف ها به تنهایی نمی توانند چنین اطلاعاتی را به ما بدهند. بردعددی وسیله ای مطمئن برای تعیین محلی است که مقادیر ویژه ماتریس درآنجا متمرکز شده اند. بردعددی این اجازه را به مامی دهد که بسیاری از ویژگی های ماتریس را ببینیم حتی اگر خود ماتریس را دقیقا نشناسیم. به طور مثال از روی بردعددی می توان موقعیت مقادیر ویژه را تعیین کرده و برخی از ویژگی های جبری و آنالیزی آن را استنباط نمود‎.مفهوم بردعددی اولین بار برای عملگرهای خطی روی اعداد مختلط درسال ‎????‎توسط تئوپلیتز درارتباط با مبحث سری های فوریه مطرح گردید. او با الهام از قضیه فجرکه ارتباط بین منحنی های مسطح و سری های فوریه را بیان می کند، به هر ماتریس n*nیک مجموعه فشرده درصفحه مختلط نسبت داد. درسال ‎1919‎ دانشمندان آلمانی تئوپلیتز و هاسدورف قضیه تحدب بردعددی را اثبات نمودند که به قضیه تئوپلیتز ـ هاسدورف معروف است. این دو هم چنین تئوری بردعددی عملگرهای خطی را روی فضای هیلبرت مطرح کردند. این قضیه درسال ‎1932‎ توسط استون در فضای هیلبرت ثابت شد، در سال ‎1990‎ این تئوری در شاخه های آنالیزتابعی و آنالیزعددی نیز معرفی گردید. امروزه بردعددی یک مفهوم شناخته شده در آنالیز ماتریس ها است که در تئوری عملگرها بسیار مورد بررسی قرار می گیرد. بردعددی را می توان روی مجموعه انواع مختلف عملگرها به ویژه عملگرهای هرمیتی و فشرده و همین طور جبر عملگرها مثل جبر باناخ وc*‎ جبرها نیز معرفی و مورد استفاده قرار داد. به طور مثال لامر نشان داد که بردعددی ابزار موثری برای مرتبط کردن ویژگی های جبری و هندسی جبرهای باناخ است و به وسیله آن اثبات قضیه ها در این حوزه ساده تر می شود. به طور کلی آنالیز تابعی بر پایه بردعددی هنوز هم حوزه مجهول و ناشناخته ای برای تحقیق است. از دیگر کاربردهای بردعددی درزمینه آنالیزعددی می توان به نقش بردعددی درنظریه های ارتعاش های کوچک و تکرارهای چبیشف برای دستگاه های خطی وغیره اشاره نمود. هم چنین تعمیم هایی از بردعددی درسیستم های پایدار به کارآمده که منجربه شکوفایی تحقیقات مهندسی دراین زمینه و پروژه های مشترکی میان ریاضی دانان و مهندسان الکترونیک شده است. ‎

قضیه ی تثبیت کاسپاروف بیان می دارد که برای هر *c- جبر a و هر a- مدول هیلبرت شمارا تولید شده ی e، جمع مستقیم ah?e به عنوان a- مدول هیلبرت یکریخت با ah است. طبیعی است که در مورد تعمیم این قضیه به a- مدول های هیلبرت دلخواه سوال کنیم که در آن ah را جایگزین a j?j? ، برای یک مجموعه ی به قدر کافی بزرگ j وابسته به e، کنیم. به عبارت دیگر برای هر a- مدول هیلبرت e، آیا مجموعه ی مناسب j ای وابسته به e وجود دارد که (a j?j? )?e به عنوان a- مدول هیلبرت یکریخت با a j?j? باشد؟ فرانک و لارسن به کمک قضیه ی کاسپاروف نتیجه گرفتند که هر a- مدول هیلبرت شمارا تولید شده قاب استاندارد دارد. اگر چه در حالت کلی وجود قاب برای یک a- مدول هیلبرت دلخواه هنوز به صورت یک سوال است. هدف اصلی این پایان نامه این است که نشان دهد جواب این سوال ها در حالت کلی منفی است. ما در این پایان نامه نشان می دهیم که برای هر *c- جبر یکدار، جابه جایی و نامتناهی البعد a، a-مدول هیلبرتی موجود است که قاب نمی پذیرد، لذا قضیه ی تثبیت کاسپاروف نمی تواند به هر a- مدول هیلبرت دلخواه تعمیم یابد.

در این پایان نامه پس از بیان مفاهیم اولیه در مورد طیف ها وارتباط آن با وارون پذیری, نشان خواهیم داد که اگر x و y فضاهای باناخ باشند, آن گاه هر نگاشت خطی پایای پوشای طیف از (b(x به (b(y به یکی از دو شکل (u(t)=ata^(-1 یا (u(t)=bt*b^(-1 است که a یکریغتی میان x و y و b یکریختی میان *x و y است.هم چنین نشان خواهیم داد هر نگاشت پایای طیف از یک جبر فون نیومن به یک جبر باناخ مختلط نیم ساده یک مهریختی جردن است.

مطالعه عملگرهای کرانداریکی ازموضوعات مهم دربحث نظریه گروهها است ساده ترین نمونه ماتریسها هستند که درتمام گرایش های ریاضی وجوددارند ماتریسها درریاضیات معرفی شدندوتاامروزویژگی های آنها بررسی می شودزیراآنهانقش مهمی درریاضی وکاربردهای آن بازی می کنند هدف اصلی پایان نامه مطالعه برد عددی عملگرهای خطی کراندارروی فضای هیلبرت وآشنایی با مسایل مطرح شده دراین زمینه را دارد

نگاشت مدولی t روی *c-مدول هیلبرت x را حافظ تعامد گوییم اگر برای x,y در x 0=<x,y> ،آنگاه 0=<tx,ty>. اگر x یک مدول هیلبرت روی *c-جبر a باشد x را می توان به یک **a- مدول هیلبرت *x روی هر فضای دوگان مضاعف باناخ و جبر فون نویمن **a از a توسیع داد.برای این منظور نگاشت **a- مقداری [.,.] را به صورت زیر تعریف می کنیم: *a ? x, b ? y] = a?x, y?b] (**x, y ? x, a, b ? a) مدول خارج قسمت a?? ? x را با #x نشان می دهیم. در قضیه ای که در زیر به آن اشاره خواهیم کرد نتایج نگاشتهای حافظ تعامد تنظیم شده است: قضیه:اگر a یک *c-جبر،x یک a-مدول هیلبرت کامل و #x همان **a- توسیع x باشد.هر عملگر a-خطی حافظ تعامد t روی x به شکل t= ?v است هرگاه v یک نشاننده a-خطی روی #x و ? یک عنصر مثبت از مرکز ضربگر جبری a، باشد.

چکیده ندارد.