در این کار نمودار انشعاب تابع تناوب مربوط به خانواده ای از مراکز درجه دوم بازگشت پذیر را بررسی می کنیم، به عنوان نمونه سیستم های لود ناهمگن را مورد مطالعه قرار می دهیم. نمودار انشعاب موضعی تابع تناوب در مرکز در نتایج اثر چیکون و جاکوبس (انشعاب تناوبهای بحرانی برای میدانهای برداری مسطح)به طور کامل مورد بررسی قرار گرفته است. عمده بحث ارائه شده در کار حاضر در زمینه نمودار انشعاب موضعی در چند حلقه ای می باشد که ناحیه حلقوی تناوب مرکز را محدود می کند. روشهایی را که در این جا بکار برده ایم با روشهای موجود در اثر ایشان متفاوت است، زیرا در صورتی که تابع تناوب به طور تحلیلی در مرکز گسترش یابد برای چند حلقه ای گسترش همواری ندارد. منتهای مراتب شخص می تواند امید داشته باشد که آن مقداری گسترش مجانبی داشته باشد. از طرفی مشکل عمده دیگر برای اثبات این که یک پارامتر یک مقدار انشعاب نیست، آن است که گسترش مجانبی باید در رابطه با پارامترها یکنواخت باشد.