در این پایان نامه ساختار گروه های متناهی که دارای 3 اندازه رده مزدوجی هستند را بررسی می کنیم. به ویزه ملاحظه می کنیم که این گروه ها حل پذیر با طول مشتق حداکثر 3 هستند، یا گروه های پوج توان اند. رتبه مزدوجی یک گروه تعداد اندازه های متمایز رده های مزدوجی غیر مرکزی آن گروه است. وجود یک عامل آبلی در حاصل ضرب مستقیم، تاثیری در رتبه مزدوجی ندارد. رده f-گروه ها شامل گروه هایی است که مرکز سازهای عناصر غیر مرکزی آنها دو به دو با توجه به رابظه شمولیت غیر قابل مقایسه هستند. هر گروه با رتبه مزدوجی 2 یا یک f-گروه است یا حاصل ضرب مستقیم یک گروه آبلی و یک گروه با مرتبه توان اول است. اگر g یک گروه غیر پوچ توان با رتبه مزدوجی 2 باشد آن گاه طول مشتق g حداکثر برابر 3 است . اما گروه های پوچ توان بارتبه مزدوجی 2 و رده پوچ توانی به دلخواه بزرگ وجود دارند.

: در این پایان نامه تعداد مرکزسازهای یک گروه متناهی را بررسی می کنیم. فرض کنیم g یک گروه باشد، مجموعه ی مرکزسازهای g را با cent(g) نشان می دهیم. بررسی ارتباط ساختار گروه و |cent(g)| موضوع جالبی است. یک گروه g، n-مرکزساز نامیده می شود اگر |cent(g)|=n. هم چنین یک گروه را n-مرکزساز اولیه می گوییم اگر |cent(g) |=|cent(g/z(g) ) |=n، که در آن z(g) مرکز g است. در این پایان نامه گروه های 4-مرکزساز تا 8-مرکزساز را بررسی می کنیم. نشان می دهیم گروه 4-مرکزساز اولیه و 8-مرکزساز اولیه وجود ندارد. با توجه به قضایا و نتایج بدست آمده، cent(g) و هم چنین |cent(g)| را برای گروه خطی ویژه تصویری و گروه سوزوکی روی میدانی با qعنصر بدست می آوریم.

موضوع این پایان نامه مربوط به گراف های کیلی و گراف های صحیح است. در این پایان نامه بررسی می کنیم گراف کیلی روی چه گروه هایی صحیح است. در این پایان نامه تمام گراف های کیلی صحیح روی گروه های آبلی متناهی را پیدا می کنیم. هم چنین در این پایان نامه گراف همینگ گراف سودوکو گراف سودوکوی مکانی و گراف مربع لاتین سراسر قطری را بررسی می کنیم و نشان می دهیم این گراف ها گراف کیلی صحیح هستند.

در این پایان نامه، ابتدا گراف های کیلی و نیمه کیلی را تعریف می کنیم. نشان می دهیم گراف دلخواه یک گراف کیلی روی گروه g است اگر وتنها اگر گروه g روی مجموعه ریوس گراف داخواه به صورت منظم عمل کند. همچنین نشان می دهیم گراف دلخواه یک گراف نیمه کیلی روی گروه g است اگر وتنها اگر گروه g روی مجموعه ریوس گراف داخواه به صورت نیمه منظم عمل کندو دقیقا دارای دو مدار با طول یکسان باشد. طیف گراف های نیمه کیلی روی گروه های آبلی را با استفاده از طیف گراف های کیلی بدست می آوریم. همچنین نشان می دهیم گراف نیمه کیلی با چه شروطی یک گراف صحیح است. در پایان نمایش ساختاری طیف گراف های کیلی روه دو گروه غیر آبلی دووجهی و دودوری را با استفاده از گراف های نیمه کیلی بدست آورده و طیف این گراف های کیلی را با استفاده از طیف گراف نیمه کیلی بدست می آوریم.

فرض کنید g گروهی متناهی و (irr?(g مجموعه ی سرشت های تحویل ناپذیر و غیر خطی g باشد. در این صورت گراف سرشت g که با نماد (?(g نمایش می دهیم گرافی است که رئوس آن اعضای (irr?(g است و دو رأس ? و? توسط یک یال به یک دیگر وصل هستند اگر و تنها اگر gcd(?(1),?(1))?1. در این پایان نامه با استفاده از قضیه رده بندی گروه های ساده نشان می دهیم a? تنها گروه ساده و ناآبلی است که گراف سرشت آن فاقد مثلث است. اگر g یک گروه متناهی و غیر حل پذیر باشد که گراف آن دارای مثلث نیست، آن گاه g گروه کامل است و در نتیجه g?a?. بنابراین a? تنها گروه غیر حل پذیر است که گراف سرشت آن دارای مثاث نیست.

در این پایان نامه تشخیص پذیری گروه ساده متناهی (2)16l بوسیله گراف اول آن را بررسی می کنیم. در واقع ثابت می کنیم که اگر g یک کروه متناهی باشد آن گاه ( (2)16l)?(g) = ? اگر وفقط اگر (2)16l g ?. و پاسخی مثبت بر مساله حل نشده زیر می آوریم؛مسأله حل نشده: آیا یک گروه متناهی تشخیص پذیر به وسیله گراف اول همبند وجود دارد؟ برای اثبات ابتدا شبهه تشخیص پذیری این گروه را نشان می دهیم و سپس تشخیص پذیری این گر.ه را ثابت می کنیم.

در این پایان نامه، تشخیص‎ ‎‎‏پذیری گروه‎‎‎‏ ساده‎ ‎‎‏ی‏ خطی تصویری خاص l(16)(2)‎ ‎ توسط گراف اولش را بررسی می ‎‎‏کنیم. درواقع ثابت می ‎‎‏کنیم که اگر ‎ g‎ ‎‏ یک گروه متناهی باشد آن ‎‎‏گاه ‎ ?(g)=‎?(l_{16}(2)‎, اگر و فقط اگر ‎ g‎?l(16)(2)‎ و پاسخی مثبت بر مساله حل نشده زیر می ‎‎‏آوریم؛ مسأله ‏حل نشده: آیا یک گروه متناهی تشخیص پذیر به وسیله گراف اول همبند وجود دارد؟‎‎‎ بنابراین با اثبات این تشخیص‎ ‎‎‏پذیری اولین مثال از یک گروه متناهی با گراف اول همبند را که توسط گراف اول ‏همبندش تشخیص ‎‎‏پذیر است‏، می ‎‎‏آوریم. برای اثبات ابتدا شبهه ‎تشخیص ‎پذیری این گروه را نشان می‎‏‎ ‎دهیم و سپس توسط تشخیص‎‏‎ ‎پذیری این گروه را ثابت می‎ ‎کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه ساختار گراف های متقارن ضعیف از مرتبه ?p که در آن p عددی اول است، خواهیم پرداخت. سپس همه گراف های متقارن ضعیف از مرتبه ?p رادر شش دسته غیریکریخت بایکدیگر،رده بندی خواهیم کرد به طوری که هر گراف متقارن ضعیفی از مرتبه?p درحدیکریختی در یکی از این رده ها قرار می گیرد.

فرض کنید h یک گروه متناهی و c یک زیر مجموعه از h{1} باشد. در این صورت گراف کیلی جهت دار cay(h,c) گرافی است با مجموعه رئوس v=hو مجموعه یال های e={(x,y) ?| x,y ?h,yx^(-1) ?c}={(x,hx) | x ?h,h ?c} در حالتی که c= c^(-1)، c را زیر مجموعه کیلی می نامیم. در این حالت گراف کیلی cay(h,c)، یک گراف بدون جهت است. یک گراف ?=(v,e) را گراف دوکیلی روی گروه h می نامیم هرگاه گروه h روی مجموعه ی v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقأ دارای دو مدار با طول یکسان باشد، یعنی aut(?) زیرگروهی یکریخت با h داشته باشد به طوری که روی v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقأ دارای دو مدار با طول یکسان باشد. هر گراف دوکیلی را می توان با شرایط معادل زیر نیز توصیف کرد. فرض کنید t، s، r زیر مجموعه هایی از گروه h باشند به طوری که s^(-1)=s و r^(-1)=r و r?s شامل عضو همانی h نباشد، گراف bicay(h;r,s,t) را به صورت زیر تعریف می کنیم: مجموعه رئوس آن {0,1}×h است و دو رأس (i,h) و (j,g) مجاورند اگر و تنها اگر یکی از این سه حالت زیر رخ دهد ?)i=j=0 و gh^(-1)?r. ?) i=j=1 و gh^(-1)?s. ?)i=0,j=1 و gh^(-1)?t. نشان می دهیم گراف ?=(v,e) یک گراف دوکیلی روی گروه h است اگر وتنها اگر گروه h روی مجموعه v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقاً دارای دو مدار با طول یکسان باشد. یک گراف را گراف دوکیلی تک جورساز می نامیم هرگاه گراف دوبخشی القاء شده توسط یال های که این دو مدار را به هم متصل می کنند، بک جورسازی تام باشد. گراف های پترسن تعمیم یافته مثال های نوعی از این چنین گراف ها هستند. در ادامه یک رده بندی از گراف های دوکیلی تک جورساز همبند تراگذار کمانی روی گروه های آبلی را بررسی می کنیم، این رده بندی بدون استفاده از رده بندی گروه های ساده متناهی انجام شده است. در عوض سرشت های تحویل ناپذیر مختلط گروه های آبلی به صورت گسترده استفاده می شود.

مفهوم شبه دامنه اولین بار توسط کارتسل در سال 1946 به منظور توصیف گروه های اکیدا دو متعددی معرفی شد. تمایز اصلی شبه دامنه از ساختار جبری موسوم به شبه میدان ساختار جمعی آن است که لزوما شرکت پذیر نیست. به عبارت دیگر یک شبه دامنه با جمع شرکت پذیر شبه میدان است اما تا کنون مثالی از شبه دامنه های سره یافت نشده است. در این پایان نامه با در نظر گرفتن یک کلاس خاص از گروه های فروینیوس که تعمیم کلاسی از گروه های اکیدا دو-متعدی هستند روش ساختن شبه دامنه به قسمی تعمیم داده می شود که منجر به ساختار یک k- لوپ گردد. خودریختی مناسب می باشد. نتیجه ی اساسی به دست آمده از این دیدگه اثبات وجود مثالی هایی است که امید می رود پرتو نوری بر حل مساله ی همچنان باز وجود شبه دامنه های سرد بیفکند. ?

فرض کنید s یک زیرمجموعه دلخواه از گروه جمعی و متناهی g باشد. گراف جمعی کیلی ?=cays(g,s) گرافی با مجموعه رئوس g است. در این گراف دو راس a و bمجاورند اگر وتنها اگر a+b?s. فولرین های (0,3,6) نوعی گراف 3 - منظم هستند که شامل شش ضلعی ها، مثلث ها و نیم یال می باشند. در این پایان نامه با استفاده از فرمول اویلر تعداد هر یک از وجه ها و درجه رئوس را محاسبه می کنیم و نشان می دهیم که این نوع از فولرین ها گراف های جمعی کیلی هستند. در ادامه الگوریتمی معرفی می کنیم که همه ی فولرین های (0,3,6) را می سازد. سپس با استفاده از این الگوریتم و گراف جمعی کیلی که که با هر فولرین یکریخت شده است، مقادیر ویژه آن فولرین را به دست می آوریم. مجموعه ی مقادیر ویژه هر گراف به سه زیر مجموعه تقسیم می شود که عبارت است از l ، -l و m. دو زیر مجموعه ی l و –l قرینه هستند. اگر گراف g هیچ نیم یالی نداشته باشد، آن گاه m={3,-1,-1,-1}. همچنین در این پایان نامه گراف های جمعی را که زیرمجموعه ای از گراف های جمعی کیلی محسوب می شوند معرفی نموده و برخی خواص آن ها را بررسی می کنیم. مراجع [?] و [?] از منابع اصلی این پایان نامه هستند.

نانولوله کربنی تک جداره از غلتانیدن گرافین در راستای بردار کایرال بدست می آید. عمل تقارنی گرافین که بعد از غلتانیده شدن، یک عمل تقارنی برای نانو لوله متناظر باشند، گروه تقارنی نانولوله را تشکیل می دهند. در این سخنرانی یک مدل ریاضی ارایه می شود کا با استفاده از آن گروه تقارنی لوله های بدست می آید. مجموعه مدل مورد نظر برای نانولوله، با بردار کایرال است. تبدیل های با ضابطه های به ازای هر بردار انتقال تبدیل های تقارنی مدل ارایه شده هستند. با استفاده از یک نمایش -تحویل ناپذیر متعامد با درجه n از گروه متناهی g و انتخاب بردار ناصفری از فضای اقلیدسی مجموعه بردارهای چسبیده که شامل پایه ای از این فضای اقلیدسی است. معرفی می شوند. با در نظر گرفتن فضای هیلبرت ، و گروه تقارنی شش ضلعی منتظم، نمایش های گروه تقارنی نانولوله کایرال بدست می آید.

گراف متناظر رده های مزدوجی گروه متناهی g را معرفی می کنیم که به صورت زیر تعریف می شود رأسهای این گراف عبارت اند از رده های مزدوجی غیرمرکزی گروه g و دو رأس c و d توسط یالی به هم وصل می شوند.

فرض کنیم دو زیرگروه دلخواهh , k از یک گروه متناهی g و g in g دادخ شده باشند احتمال اینکه جابه جاگر یک زوج دلخواه که مولفه اول آن در h و مولفه دوم آن در k باشدبرابر g شود عبارت است از pr_g(h,k)

چکیده ندارد.

این پایان نامه از پنج فصل تشکیل شده است : فصل اول ، مقدمه . فصل دوم ، گروههای حل پذیر با تولید متناهی با شرایطی روی زیر مجموعه های نامتناهی . فصل سوم ، تصاویر همریختی گروههای موضعا مدرج. فصل چهارم ، شرط ماکسیمال ضعیف و گروههای چند دوری . فصل پنجم، گروههای موضعا مدرج.

در این رساله ثابت می کنیم که قضیه کرول -اشمیدت در حالت کلی برای مدول های آرتینی برقرارنیست . این جواب سوالی است که توسط کرول در سال 1932 پرسیده شد. بدین منظور ابتدا حلقه های نیم موضعی را مورد بررسی قرار داده و نشان می دهیم ، که هر گاه ‏‎s‎‏ یک جبر مدول متناهی روی حلقه جابجایی نوتری نیم - موضعی ‏‎r‎‏ باشد، آنگاه می توان ‏‎s‎‏ را بعنوان حلقه درونریختی یک مدول آرتینی در نظر گرفت. با استفاده از این مطلب ، ثابت میم کنیم که هرگاه ‏‎s‎‏ یک جبر مدول متناهی روی حلقه جابجایی نوتری نیم - موضعی‏‎r‎‏ باشد، آنگاه هر تجزیه نامنحصر بفرد از هر‏‎-s‎‏ مدول نوتری ، یک تجزیه نامنحصر بفرد از یک مدول آرتینی روی حلقه غیرنوتری مربوطه بدست می دهد.