در این پایان نامه ابتدا ویژگی آرتین ـ ریس را در حلقه ی ، در حلقه ی کسرهای و حلقه های خارج قسمتی مورد مطالعه قرار می دهیم. نشان می دهیم یک حلقه ی آرتین ـ ریس است اگر و تنها اگر یک p ـ فضای باز باشد . یک شرط لازم و کافی برای آن که حلقه های موضعی آرتین ـ ریس باشند این است که هر ایدآل اول مینیمال باشد و از آن جا معلوم می شود که هر حلقه ی موضعی یک حلقه ی آرتین ـ ریس است اگر و تنها اگر یک p ـ فضا باشد. همچنین نشان داده ایم که اگر در یک c ـ نشانده ی چگال باشد، آن گاه منظم است اگر و تنها اگر یک p ـ فضا باشد . سپس مشاهده می کنیم که یک f ـ فضا است اگر و تنها اگر حوزه ی صحیح موضعی باشد. در نتیجه یک f ـ فضا است اگر و تنها اگر ایدآل های اولیه که در یک ایدآل ماکسیمال قرار دارند قابل مقایسه باشند. برخی از ویژگی های وقتی یک f ـ فضا باشد به حلقه های کاهشی بزو تعمیم داده شده اند. مشخص می شود که وقتی یک فضای نامتناهی همبند و f ـ فضا باشد، آنگاه مثالی طبیعی از یک حلقه ی غیر نوتری بدون خودتوان غیربدیهی است که حوزه صحیح شده است ولی حوزه ی صحیح نیست. نشان می دهیم که رتبه ی نقطه ی ??x در حالت متناهی منطبق بر بعد گلدی mx است و مثالی از یک فضای می آوریم که نشان می دهد این موضوع در حالت نامتناهی درست نیست. با توجه به این حقایق و برخی از ویژگی های دیگر رتبه ی یک نقطه ی ??x را برابر با بعد گلدی mx تعریف می کنیم. سرانجام برای هر کاردینال a نشان می دهیم یک فضای و یک زیرمجموعه ی بسته ضربی از وجود دارند که بعد گلدی s-1 برابر a است.