در سال های اخیر، معادلات تفاضلی گویا مورد توجه بسیاری از محققان قرار گرفته است. این معادلات از یک طرف نمونه هایی از معادلات تفاضلی غیر خطی اند که دینامیک های جدیدی نسبت به معادلات خطی ارائه می دهند و از طرفی دیگر به طور مکرر در مدل های زیستی ظاهر شده اند. در دهه ی اخیر معادلات تفاضلی گویای مراتب بالا و سیستم هایی از معادلات تفاضلی گویا به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته اند، اما هنوز جنبه های زیادی از دینامیک این معادلات برای تحقیق و بررسی وجود دارد. در این پایان نامه برخی از معادلات تفاضلی گویا از جمله معادله ی تفاضلی ریکاتی مرتبه ی دو، معادلات گویا از مراتب دو و سه با جملاتی از درجه ی دو و همچنین سیستمی از معادلات تفاضلی گویا در صفحه مورد مطالعه قرار گرفته است. در ابتدا مجموعه ی تکین معادلات، محاسبه و نشان داده شده است که اندازه ی لبگ مجموعه ی تکین در هر مورد صفر است‏، از این رو تقریبا به ازای هر شرط اولیه ای جواب وجود دارد. سپس رفتارهای موضعی و سراسری جواب های این معادلات بررسی شده اند‎.‎ در نهایت نشان داده شده که مجموعه ی تکین برای هر معادله ی تفاضلی گویا دارای اندازه ی لبگ صفر است و برای این دسته از معادلات تفاضلی مجموعه ی وسیعی از جواب وجود دارد. بنابراین‏‏، مطالعه ی رفتارهای مرتبط با جواب ها مثل پایداری و تناوب ارزشمند خواهد بود.

مطالعه و بررسی سیستم های معادلات تفاضلی به دلیل کاربرد فراوان در مسائل گوناگون و مدل سازی رفتارهای دینامیکی سیستم های طبیعی و اقتصادی، از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. یک خانواده مهم از سیستم های معادلات تفاضلی که در دهه های اخیر مورد بحث و بررسی قرار گرفته اند، سیستم های به فرم گویا می باشند. این سیستم ها به این دلیل که شامل انواع زیادی می باشند، بخش زیادی از مطالعات این عرصه را به خود اختصاص داده اند. اندک زمانی است که بررسی سیستم های معادله تفاضلی به فرم گویا در صفحه به طور رسمی شروع شده است. در این پایان نامه ابتدا به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی از سیستم های معادلات تفاضلی می پردازیم. سپس همه حالت های یک معادله تفاضلی گویا در صفحه را به طور کامل دسته بندی کرده و از دیدگاه رقابتی و مشارکتی بودن، این سیستم ها را بررسی خواهیم کرد. در ادامه به بررسی خواص دینامیکی سیستم ها هم از لحاظ موضعی و هم از دید سراسری از جمله خاصیت کرانداری و یکنوایی جواب های آنها خواهیم پرداخت. همچنین به بررسی دینامیکی نقاط تعادل این سیستم ها نیز در ادامه پرداخته خواهد شد. در آخر نیز بعضی نتایج روی رفتار های دینامیکی چند سیستم خاص بیان و بررسی می شوند.

این پایان نامه‏ به تعمیمی از‎ ‎‏کارهای‎ کاسلیک و بالینت‏ و‎‎ ‎شو و ‎وی می پردازد .‎‏‎‏‎ در‎‎ این پایان نامه با دلخواه گرفتن ضرایب زوال داخلی به جای برابر بودن آن ها‏، دستگاه را به یک دستگاه کلی تر ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎تعمیم می دهیم. هم چنین دستگاه ‎bam‎‏ با سه سلول عصبی را که در معرفی شده است را به یک دستگاه‏ با ‎‎‎?p+‎‏ ‎سلول گسترش می دهیم. با در نظر گرفتن پارامتر انشعاب مناسب در هر دستگاه و تغییر آن مقادیر بحرانی پارامتر انشعاب را می یابیم‏، یعنی مقادیری که به ازای آن ها معادله ی مشخصه بر روی دایره ی واحد ریشه داشته باشد. در چندین لم به بررسی ویژگی های این مقادیر بحرانی و شرایط لازم برای رخداد پدیده ی انشعاب می پردازیم. سپس با توجه به نوع مقدار یا مقادیر ویژه ای که روی دایره ی واحد قرار گرفته اند‏‏ و کمک گرفتن از قضیه ی منیفلد مرکزی و نظریه ی فرم نرمال نوع انشعاب (گوشه/گره-زینی‏، مضاعف سازی دوره ی تناوب‏، نیمارک-ساکر)‏، نوع پایداری و جهت آن ها را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. علاوه بر این در مورد انشعاب نیمارک-ساکر احتمال رخداد انشعاب تشدید ?:? و ?:? را نیز بررسی می کنیم و شرایط لازم برای وقوع این انشعابات را بیان می کنیم. در مورد دستگاه اول‏، اگر مقدار پارامتر انشعاب از نظر قدرمطلق به اندازه ی کافی بزرگ باشد و حداقل یکی از توابع فعالیت دارای دو ریشه ی ساده باشد آن گاه در دستگاه آشوب رخ می دهد که آن را از دیدگاه ماروتو اثبات می کنیم. باید توجه کرد که در دستگاه دوم امکان رخداد آشوب وجود ندارد‏، زیرا امکان یافتن یک نقطه ی دافع برگشتی وجود ندارد. در پایان هر بخش نمودارها وشبیه سازی های عددی‏، شامل دیاگرام انشعاب‏، نمای فاز و ضرایب لیاپانف برای مقادیر مختلف پارامتر انشعاب آورده شده است.

هدف اصلی در این پایان نامه، بررسی رفتار مدل های زمان-گسسته انگل-میزبان و هم چنین گروه خاصی از آن ها به نام سیستم های گیاه-گیاه خوار است. سه نظریه مهم و پرکاربرد، یعنی نظریه پایداری، نظریه انشعاب، نظریه آشوب و قضایای مرتبط با آن ها، اساس کار ما در این پایان نامه هستند. یکی از مباحث مهم این پایان نامه راجع به بررسی دینامیک های یک مدل گیاه-گیاه خوار است. وجود رفتار پیچیده مانند انشعابات گره-زینی، تبادل پایداری، چنگال، دوره-مضاعف، نیمارک-ساکر و هم چنین رفتار آشوبی و نیز پایداری دوگانه از ویژگی های جالب و مورد بحث این مدل می باشند. نمایش نمودارهای انشعاب و مدارهای این مدل به ازای بعضی مقادیر پارامترها، در نشان دادن این ویژگی ها به ما کمک می کنند. هم چنین به بررسی این مدل با یک اختلال کوچک در دینامیک گیاه می پردازیم. در ادامه به دو مفهوم مهم زیستی یعنی انگلی شدن و وابستگی به چگالی، اشاره می کنیم که تاثیر مهمی در دوران زندگی جانوران دارند و هم چنین جابه جایی این دوعامل مهم و تاثیرات آن ها را بررسی می کنیم و نتایج را در قالب چند قضیه بیان می کنیم. در آخر، به بررسی پایداری وانشعابات عام چند مدل زیستی می پردازیم.

چکیده اخیرا مطالعات روی سیستم های گویای دارای عبارات خطی مورد توجه قرار گرفته و نتایج بسیار شگرفی در این موارد را شاهد هستیم ولی در این بین کم تر شاهد مطالعات روی سیستم های با عبارات درجه دو بوده ایم. در حالت کلی سیستم های گویا با عبارات درجه دو در صفحه تعریف می شوند. در این پایان نامه روی مدل جدید رقابتی لجستیک زیر که یکی دیگر از حالت های خاصمدل های گویا که شامل عبارات درجه دو هستند، تمرکز می کنیم. شرایط پایداری و انشعاب و به ویژه منیفلدهای پایا و همینطور رفتار آشوبی سیستم فوق را بررسی کرده، انشعاب های گره - زینی ، دوره مضاعف و مسیرهای آشوبی توسط شبیه سازی های عددی در مورد مدل لجستیک نمایش خواهیم داد. در ضمن سعی شده در این پایان نامه آشوب از نگاه لی و یورک و کنترل آشوب این سیستم را مورد بررسی قرار دهیم.

در این پایان نامه به کمک مقاله فوق و با تعریف یک اتوماتای تصادفی انتشار ویروس را تحلیل خواهیم کرد. در ابتدا مفاهیم زیستی مورد نیاز را بیان خواهیم کرد. آشنایی با دستگاه ایمنی بدن و چرخه زندگی ویروسو همچنین نحوه تقابل آن با سلول های سیستم دفاعی بدن، ما را در بررسی و تحلیل مدل یاری خواهد کرد. سپسچندین مدل مختلف را به طور مختصر بررسی می کنیم. در ادامه به تعریف اتوماتای سلولی و ویژگی های آن خواهیم پرداخت. در فصل ? با مفهوم اتوماتای سلولی تصادفی آشنا خواهیم شد. در واقع مدل بندی انتشار ویروس به کمک این مفهوم صورت می گیرد. در این فصل دینامیک های مختلف نیز شرح داده می شوند. در فصل ? پس از انجام مدل بندی به کمک اتوماتای سلولی، نتایج حاصل را نیز برای پارامتر های زیستی مختلف بدست خواهیم آورد. در فصل ? خواصدینامیکی مطرح شده در فصل ? را برای مدل ایجاد شده، بررسی می کنیم. خواهیم دید که این خواص دینامیکی در واقع برخی اتفاقات زیستی را توجیه خواهند کرد. با وارد شدن به مرحله نهایی انتشار ویروس که مصادف با شروع بیماری ایدز است درمی یابیم که نتایج زیستی کمی تصادفی تر از نتایج حاصل از به کارگیری اتوماتاست. لذا در این مرحله به تصحیح مدل خواهیم پرداخت. در واقع در این مرحله از اتوماتای مارکف بهره خواهیم گرفت. همچنین به کمک این اتوماتا نحوه تاثیر دارو بر مدل را مشاهده خواهیم کرد. بنابراین از آنجایی که مدل مطرح شده با دقت بسیارخوبی نحوه انتشار ویروس را در مراحل مختلف به نمایشمی گذارد می تواند در روند درمان مورد استفاده قرار گیرد.

در این پایان نامه برخی نگاشت های آشوبی و اتوماتای سلولی آشوبی معرفی می شوند. همچنین به بعضی ویژگی های مهم، از جمله آنتروپی توپولوژیک و ارگودیک بودن پرداخته می شود. بخصوص به اتوماتای سلولی قاعده 119 و همچنین نگاشت های گربه در نظر گرفته می شوند. ضمن مقایسه این اتوماتای سلولی با سایر اتوماتاها، کاربرد آن ها در رمزنگاری ذکر خواهد شد. همچنین ضمن ساخت نگاشت های گربه با ابعاد بالا، کاربرد آن ها در رمزنگاری تصویری بیان خواهد شد.