هدف این پژوهش، بدست آوردن طرح های تفاضلات متناهی با مرتبه دقت بالا برای برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری است. به همین منظور ما در یک فصل جداگانه به بیان تعاریف وشماری از خواص مشتقات کسری پرداخته ایم. در این فصل سه نوع از عمگر های مشتق و انتگرال کسری معروف را بیان کرده ایم. سپس تعدادی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری مهم در مهندسی و فیزیک از جمله معادلات استوکس، پخش-وزش، زیر پخش، کلاین گردون و کتانئو مورد بررسی قرار گرفته اند. برای معادلات فوق، پس از یافتن تقریب های تفاضلات متناهی فشرده و اثبات حل پذیری طرح پیشنهاد شده، از روش های آنالیز فوریه و روش انرژی برای اثبات پایداری و همگرایی طرح های تفاضلی بهره جسته ایم. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید مرتبه دقت بالا و کارائی روش ها می باشد.

بسیاری از مسایل موجود در مباحث فیزیک,شیمی, وغیره پس از مدل سازی و یافتن مدل های ریاضی آنها به مسایل مقدار مرزی از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی یا جزیی تبدیل می شوند اما متاسفانه شمار کمی از معادلات دیفرانسیل دارای جواب تحلیلی هستند و یا اینکه در برخی موارد جواب تحلیلی آنها به اندازه ای پیچیده است که استفاده از آنها در کاربرد های عملی برای پی بردن به رفتار جواب یا ساختار سیستم امکان پذیر نیست .همجنین حل عددی و تحلیلی مسایل مقدار مرزی در بعد های بالاتر از یک چندان ساده نیست هدف اصلی این پایان نامه حل عددی مسایل مقدار مرزی یک بعدی و دو بعدی با استفاده از روش شبه طیفی لژاندر می باشد در این روش تابع مجهول در معادله را با درونیابی لاگرانژتقریب می زنیم که نقاط درونیابی گره های گاوس لوباتوی لژاندر می باشد سپس این تقریب را در معادله و شرایط مرزی جایگزین می کنیم و با استفاده از ماتریس های عملیاتی مشتق ,حل معادله ی مورد نظر به حل دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل می شود و با حل این دستگاه ضرایب مجهول بدست می آید.

هدف از انجام این پژوهش بدست آوردن یک سری طرح های تفاضلات متناهی برای حل برخی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیر خطی بوده است. بدلیل پیچیدگی و غیرخطی بودن این معادلات بیشتر روش های عددی برای حل این معادلات با مرتبه دقت مطلوبی همراه نبوده است. در این پایان نامه با ارائه طرح های تفاضلاتی به حل این دسته از معادلات با مرتبه دقت مطلوب می پردازیم.

در این پژوهش یک روش شبه طیفی لژاندر اصلاح شده برای تعیین جواب دقیق و موثر مسایل کنترل بهینه با جواب بنگ-بنگ مورد بررسی قرار می گیرد. در این روش توابع کنترل و وضعیت به ترتیب به‎‎ صورت توابع تکه ای ثابت و چند جمله ای پیوسته و نیز نقاط سوئیچ به عنوان متغیرهای تصمیم در نظر گرفته می شوند. برای سادگی در گسسته سازی، فرم انتگرالی معادلات دینامیک در نظر گرفته می شود و در نتیجه مساله به یک مساله ی برنامه ریزی ریاضی تبدیل می شود که می توان آن را به راحتی توسط یک الگوریتم بهینه سازی پارامتری توسعه یافته حل نمود. از مزیت های اصلی روش ارائه شده می توان به موارد زیر اشاره کرد: 1- یافتن نتایج مطلوب حتی با استفاده از تعداد کمی از نقاط هم مکانی. 2- تعیین دقیق تعداد و موقعیت نقاط سوئیچ. 3- آشکار شدن انتخاب اشتباه تعداد نقاط سوئیچ توسط نتایج روش. 4- نرخ همگرایی بالای روش. در ‎پایان با پیاده سازی عددی روش پیشنهادی روی چند مثال کارایی روش بهتر نشان داده می شود.

در این تحقیق با توجه به پر هزینه بودن حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی سهموی چند بعدی با استفاده از روش های مستقیم، کارائی روش های جهت متناوب به همراه تقریب های تفاضلات متناهی فشرده برای حل عددی اینگونه معادلات بررسی خواهد شد. همچنین به مقایسه ی کارایی این روش ها نسبت به روش های عددی دیگر به کار رفته برای حل این معادلات خواهیم پرداخت. در ضمن پایداری این روش ها نیز بررسی خواهد شد. باید اشاره شود که روش های پیشنهاد شده هم دارای دقت بالا و هم دارای پایداری خوبی می باشند.

مدل سازی پدیده های فیزیکی اغلب منجر به تولید معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای می شوند. اما یافتن جواب تحلیلی برای این معادلات همیشه امکان پذیر نیست. بنابراین استفاده از روش های عددی برای حل این معادلات اجتناب ناپذیر به نظر می رسد. اگرچه روش های عددی سنتی مبتنی بر گسسته سازی شبکه مانند روش تفاضلات متناهی (‎‎‎fdm)، روش عناصر متناهی (fe‎m) ، روش حجم های متناهی ((fvm و روش عناصر مرزی (bem) ‎‎برای حل مسایل در زمینه های مختلف علمی به طور چشم گیری توسعه یافته اند، اما استفاده از این روش ها هنوز دارای معایبی است. چگونگی رویارویی با مرزهای نامنظم در روش تفاضلات متناهی، ذخیره سازی حجم وسیعی از اطلاعات در روش عناصر متناهی و مسایل مربوط به محاسبه ی جواب های اساسی‎ در روش عناصر مرزی از جمله مشکلات مربوط به این روش هاست. تولید شبکه های مناسب و وابستگی زیاد دقت این روش ها به چگونگی شبکه بندی دامنه ی فیزیکی مساله، از دیگر مشکلات عمده در بین تمامی این روش هاست. اگرچه در دهه های گذشته تلاش های زیادی در زمینه تولید شبکه‎ صورت گرفته است، اما همچنان تولید شبکه فرآیندی پیچیده و زمان بر است. تلاش برای غلبه بر این مشکلات، در طی ‏سه دهه ی گذشته موجب پیدایش خانواده ای دیگر از روش های عددی برای حل معادلات با مشتقات پاره ای، تحت عنوان روش های بی نیاز از شبکه شده است که در طی سال های اخیر توجهات زیادی را به خود جلب کرده است. هدف اولیه ی این روش ها حذف یا حداقل کاهش مشکلات ناشی از تولید شبکه است. در این روش ها به منظور غلبه بر مشکلات ناشی از تولید شبکه، دامنه و مرز مساله براساس نقاط گره ای‎‎ گسسته سازی می‎شوند‏، که در حالت کلی این نقاط به طور نامنظم و بدون ارتباط از پیش تعیین شده ای در دامنه پراکنده شده اند . اگرچه این روش ها در مقایسه با قدمت روش های مبتنی بر شبکه، هنوز در گام های ابتدایی اند، اما مزایای این روش ها باعث گسترش چشمگیر آن ها شده است. با توجه به عدم نیاز به ساختار شبکه ای، این روش ها برای مسایلی با دامنه های پیچیده یا دامنه هایی که از نظر شکل هندسی تغییر می کنند، به خوبی قابل پیاده سازی هستند. همچنین انعطاف پذیری بالای این روش ها، امکان توسیع آن ها را به ابعاد بالاتر فراهم می آورد. علاوه بر این در این روش ها می توان با افزودن نقاط گر‏هی در ناحیه ای دلخواه از دامنه، دقت روش را در آن ناحیه افزایش داد. از دیگر مزایای این روش ها مرتبه بالای پیوستگی توابع شکل‎‎ است. در کنار مزایای ذکر شده برای روش های بی نیاز از شبکه‏، این روش ها دارای معایبی نیز هستند. توابع شکل مورد استفاده در این روش ها اغلب در خاصیت دلتای کرونکر صدق نمی کنند بنابراین برای اعمال شرایط مرزی دیریکله نیازمند تکنیک های خاصی هستیم.‎ از طرفی برخلاف روش عناصر متناهی‏، توابع شکل استفاده شده در روش های بی نیاز از شبکه چندجمله ای نیستند و مشتق مرتبه ‎‎‎‎l‎‎‎‏-ام این توابع با افزایش ‎l‎‎‎‏‏، افزایش می یابد. به علاوه ماتریس سختی معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت‏، به طور دقیق قابل محاسبه نیست. بنابراین توابع شکل مورد استفاده در روش های بی نیاز از شبکه فاقد این دو خصوصیت‎‎ نسبت به توابع شکل مورد استفاده در روش عناصر متناهی هستند. از این رو برای محاسبه انتگرال توابع شکل روش های بی نیاز از شبکه‏، نیازمند روش های عددی با مرتبه دقت بالا هستیم که باعث افزایش هزینه ی محاسباتی می شود‎‎. در این پایان نامه روش پترو-گالرکین موضعی بی نیاز از شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای را معرفی کرده و کارایی این روش را برای حل معادلات مستقل از زمان خطی و غیرخطی و معادلات وابسته به زمان مورد بررسی قرار خواهیم داد. با ارایه ی مثال ها و نتایج عددی دقت و کارایی روش را نشان می دهیم.‎‏

در این تحقیق روش جدیدی به نام روش شبه طیفی رادو‎ (rpm) ارائه شده است. (rpm) یک روش مستقیم است که با استفاده از پارامتر سازی معادلات وضعیت، کنترل وقیود دینامیکی توسط چندجمله ای لژاندر روی نقاط کوادراتور لژاندر- گاوس- رادو‎‎ ‎‎(‎lgr‎)‎‎‎پیاده سازی می شود‎. ‎‎‎از آن جایی ‎‎که در روش مطرح شده در این تحقیق، معادلات دینامیکی در نقطه پایانی هم مکان نمی شوند، لذا از روش شبه طیفی لباتو متفاوت است. این نشان می دهد که ‎شرایط ‎kkt‎ از ‎nlp‎ معادل با فرم گسسته شرایط لازم بهینگی مرتبه اول برای مساله کنترل بهینه است؛ بنابراین این روش قادر به ارائه تقریب دقیقی از هم وضعیت برای مساله پیوسته با استفاده از ضرایب ‎ kkt‎ از ‎nlp‎ است، با توجه به این که دینامیک ها در نقطه پایانی هم مکان نمی شوند، مقدار هم وضعیت در این نقطه از ‎$nlp‎ به دست نمی آید، با این حال این مقدار در زمان نهایی با استفاده از کوادراتور رادو به دقت قابل تخمین زدن است. روش مورد بحث به دلیل هم مکانی معادلات دینامیکی در نقطه ابتدایی متفاوت از روش شبه طیفی گاوس است؛ نتایج به دست آمده از این روش، مقدار کنترل در نقطه ابتدایی را به دست می دهد. روش شبه طیفی رادو، دارای مزایای بسیاری نسبت به روش های عددی به کار گرفته شده برای حل مسایل کنترل بهینه است که به برخی از آن ها اشاره می کنیم: پیاده سازی این روش آسان است و هرگونه تغییر در محدودیت ها را می توان در آن گنجاند.‎ می توان یک پاسخ بدون نیاز به حدس اولیه برای متغیرهای هم وضعیت مسأله، با استفاده از شرایط ‎ kkt به دست آورد‎. ‎متغیرهای هم وضعیت را می توان بطور مستقیم با استفاده از شرایط kkt‎ از ‎nlp‎‎ تخمین زد. مزیت نهایی ومهم روش شبه طیفی رادو، همگرایی نمایی سریع، نسبت به سایر روش های شبه طیفی است. این نرخ همگرایی، نشان می دهد با استفاده از این روش می توان جواب دقیقی برای مساله کنترل بهینه با استفاده از تعداد نقاط هم مکانی کمتر و زمان محاسباتی بسیار کمی نسبت به روش های دیگر به دست آورد. پاسخ سریع مساله همراه با تقریب دقیق برای متغیرهای هم وضعیت و کنترل اولیه، می تواند کنترل بهینه زمان-واقعی برای سیستم های غیر خطی را فراهم سازد.

هدف این پژوهش، به دست آوردن طرح های تفاضلات متناهی با مرتبه دقت بالا برای معادله دیفرانسیل جزئی معکوس سهموی است. با حل کردن چنین معادله ای پارامتر کنترل مجهول را به دست می آوریم. به همین منظور طرح های تفاضلات متناهی صریح، ضمنی، کرانک-نیکلسون و کراندال را در نظر گرفته و مرتبه دقت و ناحیه پایداری آن ها را مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه با استفاده از تابع تبدیل معادله دیفرانسیل جزئی را تغییر داده و طرح تفاضلات متناهی معادله در یک و دو بعد را تشکیل می دهیم و حل پذیری، پایداری و همگرایی را با استفاده از روش نرم انرژی بررسی می کنیم. هم چنین با معرفی یک طرح تفاضلات متناهی فشرده و بررسی حل پذیری آن، مشاهد می کنیم که مرتبه دقت روش بهبود یافته و زمان انجام محاسبات کوتاه تر می شود. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید مرتبه دقت بالا و کارائی روش ها می باشد.

بسیاری از مسائل فیزیکی و مهندسی برای تبیین بهتر، با استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی به مدل های ریاضی تبدیل می شوند. دستیابی به جواب تحلیلی این گونه معادلات جز در موارد بسیار ساده، کاری بسیار دشوار و بعضاً غیرممکن است و در برخی موارد نیز جوابهای تحلیلی به دست آمده به اندازه ای پیچیده هستند که استفاده از آنها در کاربردهای عملی امکان پذیر نیست. لذا روش های عددی به عنوان تنها راه دستیابی به جواب تقریبی با دقت مناسب از اهمیت ویژه ای برخوردارند. در این پایان نامه ضمن معرفی انواع روش های طیفی به معرفی توابع پایه ای کسری وینر، چریستو و وینر تعمیم یافته روی بازه نامتناهی (?+,??) می پردازیم. سپس با استفاده از روش های طیفی و با به کارگیری توابع پایه کسری وینر، چریستو و وینر تعمیم یافته به تقریب برخی توابع و حل بعضی از مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی می پردازیم. در آخر نیز دو معادله دیفرانسیل معروف را بااستفاده از توابع چریستو حل می کنیم.

مدل ریاضی بسیاری از مسائل در علوم مختلف نظیر مهندسی، فیزیک، ریاضی، شیمی و زیست شناسی با معادلات دیفرانسیل معمولی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، خطی یا غیر خطی و با دامنه های متناهی یا نامتناهی بیان می گردد. روش های عددی مختلفی برای حل این معادلات موجود است. در این پایان نامه به برخی از روش های طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل در بازه های نامتناهی و نیمه متناهی اشاره شده و به طور خاص به روش شبه طیفی با استفاده از توابع لژاندر کسری و چبیشف کسری برای حل مسائل پرداخته می شود. به این ترتیب که ابتدا خواص چندجمله ای های لژاندر و چبیشف در بازه متناهی و توابع لژاندر کسری و چبیشف کسری در بازه نیمه متناهی ذکر شده و سپس با ارائه قضایایی، پایداری و همگرایی تقریب های حاصل از توابع لژاندر کسری و چبیشف کسری بررسی می شود. در مرحله بعد نیز از قضایا و روابط ارائه شده، همراه با روش هم مکانی، برای حل معادلات دیفرانسیل روی بازه های نیمه متناهی استفاده می کنیم. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید قضایای همگرایی و همچنین دقت و کارایی بالای روش می باشد.

هدف این پژوهش، بررسی پایداری و همگرایی طرح های تفاضلات متناهی برای برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری است. به همین منظور ما در یک فصل جداگانه به بیان تعاریف و شماری از خواص مشتقات کسری پرداخته ایم. در این فصل چهار نوع از عمگرهای مشتق و انتگرال کسری معروف را بیان کرده ایم. سپس تعدادی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری مهم در مهندسی و فیزیک از جمله معادلات پخش-وزش، پخش و موج مورد بررسی قرار گرفته اند. برای معادلات فوق، پس از یافتن تقریب های تفاضلات متناهی، از روش های ماتریسی و استقرای ریاضی برای اثبات پایداری و همگرایی طرح های تفاضلی بهره جسته ایم. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید این موضوع می باشد.

در این پایان نامه به ارائه یک روش عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی و همچنین معادلات دیفرانسیل جزئی پارابولیکی که در علم فیزیک ومهندسی دارای کاربردهای فراوانی هستند، پرداخته ایم.جواب های تقریبی این معادلات را با دقت مناسبی به دست می آوریم. در این پایان نامه علاوه برتعریف چندجمله های برنشتاین، به بررسی ویژگی پیوستگی، استقلال خطی و به بهترین تقریب با استفاده از چندجمله های برنشتاین می پردازیم.با استفاده از چندجمله های برنشتاین به محاسبه ماتریس های عملیاتی که شامل انتگرال، مشتق و حاصلضرب می پردازیم. سپس با استفاده از ماتریس های عملیاتی به حل مسایل مقدار اولیه و مرزی پرداخته می شود.

حل عددی معادلات انتگرال، معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم و ولتراو دستگاههای این معادلات خطی مرتبه بالا با استفاده از چند جمله ای های بسل است.یافتن جواب واقعی برای این مسایل با استفاده از روش های تحلیلی دشوار و در مواقعی غیر ممکن است هموار نیاز به استفاده از روش های تقریبی است.

هدف از این پژوهش، بررسی سازگاری، پایداری و آنالیز همگرائی از یک روش جداسازی عملگر، یعنی روش جداسازی تکراری عملگر، با استفاده از شیوه های مختلف برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی می باشد. ایده این روش جداسازی مسائل پیچیده و تبدیل آن به مسائل ساده تراست بنابراین، هر زیر مساله با طرحهای تکراری ترکیب شده و با انتگرالگیریهای مناسب حل می شودآنالیزها بستگی به نوع عملگرهای مسائل دارند