در این پژوهش، مقدماتی از روش آنالیز هوموتوپی را بیان و آن را برای حل مسائل مقدار اولیه به کار می بریم و با استفاده از چند جمله ای های چبیشف آن را بهبودمی دهیم. در ادامه برای اولین بار روش آنالیز هوموتوپی را برای حل دستگاه معادلات غیرخطی جبری توسعه می دهیم و الگوریتمی کارا برای حل این گونه از مسائل غیرخطی پیشنهاد می کنیم که در مقایسه با دیگر روشهای موجود سرعت و دقت همگرایی مناسبتری دارد.

اخیرأ، کدهای بر روی حلقه های متناهی توجه زیادی را به خود جلب کرده است. یک مجموعه ‎$‎ -‎n $‎تایی بر روی حلقه ی ‎$ r $‎ را یک کد خطی بر روی ‎$ r $‎ گویند هرگاه یک ‎$‎ -‎r $‎مدول باشد. یک کد دوری بر روی حلقه ی ‎$ r $‎ از طول ‎$ n $‎، یک کد خطی است با این شرط که اگر ‎$ (c_0‎, ‎c_1‎, ‎ldots‎, ‎c_{n-1}) in c$‎ آن گاه ‎$ (c_{n-1}‎, ‎c_0‎, ‎ldots‎, ‎c_{n-2}) in c$‎. کدهای دوری ایده آل های حلقه ی ‎$ r_{n}=frac {r[x]}{<x^n-1>} $‎ هستند. در ابتدا یک بررسی درباره کدهای دوری بر روی حلقه ها‎ از جمله حلقه ی ‎ $mathbb{z}_{4}$‎ و حلقه ی گالوای ‎$ gr(q‎, ‎l) $‎ انجام می شود، به طوری که ‎$ gr(q‎, ‎l) $‎ حلقه ی توسیع گالوا از درجه ‎$ l $‎ بر روی ‎$mathbb{z}_{q}$‎ می باشد.‎ سپس خواهیم دید که کدهای شبه-دوری تعمیم قابل توجهی از کدهای دوری هستند. در این پایان نامه‏، برخی از خواص ساختاری کدهای شبه-دوری بر روی حلقه ی ‎$mathbb{z}_{q}$‎ بررسی خواهد شد. یک ‎$‎ -‎l $‎کد شبه دوری از طول ‎$ lm $‎ بر روی ‎$mathbb{z}_{q}$‎ هم به فرم سطری گردشی نمایش داده می شود و هم به عنوان یک ‎$‎- ‎frac{mathbb{z}_q[x]}{(x^m-1)}$‎زیرمدول از ‎$ frac{gr(q‎, ‎l)[x]}{(x^m-1)}$‎. در آخر به بررسی کدها بر روی ابرحلقه ها می پردازیم.