ما در این پایان نامه به مساله چهارم هیلبرت از دیدگاه هندسه فینسلری می پردازیم. مساله چهارم هیلبرت که مساله خط راست بعنوان کوتاهترین فاصله بین دو نقطه لقب گرفته است به جستجوی همه توابع فاصله بین دو نقطه لقب گرفته است به جستجوی همه توابع فاصله (نه ضرورتا متقارن) می پردازد که روی زیر مجموعه بازی مانند u rn تعریف می شوند و برای هر دو نقطه دلخواه مانند x,y.u ، خط راست در بین منحنی هایی که این دو نقطه را بهم وصل می کنند دارای کوتاهترین طول می باشد، چون minkowski مثال های جالبی برای توابع فاصله از نوع نا متقارن کشف کرده بود لذا هیلبرت نیز توابع فاصله را ضرورتا متقارن در نظر نگرفته است. مساله چهارم هیلبرت از دیدگاه های متفاوت بوسیله ریاضیدانان مورد بحث قرار گرفته و جواب هایی نیز برای آن ارائه شده است. اما تاکنون این مسئله بطور کامل حل نشده است. از دیدگاه هندسه فینسلری فرض می کنیم تابع فاصله مورد نظر در مساله هیلبرت بوسیله یک متر فینسلری القاء شده باشد می دانیم که در اینصورت برای هر دو نقطه دلخواه د u rn ژئودزیکی که دو نقطه را بهم متصل می کند بین منحنی هایی که این دو نقطه را بهم وصل می کنند دارای کوتاهترین طول می باشد. حال اگر قرار باشد که متر القایی بوسیله متر فینسلری در مساله هیلبرت صدق کند باید ژئودزیک های این متر فینسلری خطوط راست در u rn باشد. این پایان نامه از چهار فصل تشکیل شده است. در فصل اول آشنایی مختصری با فضاهای فینسلری پیدا می کنیم مخصوصا در این فصل به توصیف مترهای فانک از دیدگاه هندسه فینسلری می پردازیم. در فصل دوم با فضاهای اسپری آشنا می شویم. از جمله اینکاه در این فصل به ارتباط فضاهای فینسلری با فضاهای اسپری می پردازیم طوری که از این ارتباطدر فصل سوم استفاده کرده و به توصیف مساله هیلبرت از دیدگاه هندسه فینسلری می پرئازیم . جواب هایی نیز برای آن ارائه می دهیم. در فصل چهارم نیز همانند فصل سوم جواب هایی برای مساله چهارم هیلبرت ارائه می شود. ولی در این فصل این کار توسط مترهای فانک و اسپری های r- فلت صورت می گیرد.

انحناء پرچمی در هندسه فینسلری، توسیع طبیعی انحناء مقطعی در هندسه ی ریمانی است که ابتدا توسط ل بروالد معرفی شد. برای منیفلد فینسلری (m,f)، انحناء پرچمی یک تابع k(p,y) از صفحات مماس و جهت های است. گوئیم f دارای انحناء اسکالر است هر گاه انحناء پرچمی (x,y) k= (p,y) k مستقل از پرچم های p مربوط به هر میله ی پرچمی ثابت y باشد. متر فینسلری با انحناء اسکالر توسیع طبیعی مترهای ریمانی با انحناء مقطعی ثابت می باشند. یک مسئله مهم در هندسه فینسلری، مطالعه و مشخص کردن ویژگی منیفلدهای فینسلری با انحناء اسکالر است. می دانیم که مترهای فینسلری موضعا سازگار تصویری دارای انحناء اسکالر می باشد. عکس آن در حالت کلی درست نیست. تعداد زیادی متر فینسلری که دارای انحناء اسکالر هستند ولی سازگار تصویری نیستند وجود دارند{21}. بهترین شناختمان از مترهای فینسلری که سازگار تصویری نیستند و دارای انحناء اسکالرند این است که آن ها به شکل f=a=b می باشند. که در آن a متر ریمانی و b یک 1- فرمی بر منیفلد می باشد{18}. چنین مترهایی را متر راندرز می نامند. در این پایان نامه پس از معرفی مفاهیم اساسی در هندسه ی فینسلری، ثابت می که بر یک منیفلد فینسلری فشرده با بعد 3 n دارای انحناء اسکالر باشد آنگاه f یک متر راندرز مر باشد. و همچنین ثابت می کنیم که بر یک منیفلد فشرده با انحناء منفی و بعد 3 f, n موضعا سازگار تصویری است اگر و تنها اگر f = a+ b متر راندرز بطوریکه a دارای انحناء مقطعر ثابت و b، یک 1- فرمی بسته بر منیفلد باشد.

هدف پایان نامه، تعریف الصاق تصویری توماس -وایتهد و سپس کاربرد آن برای مطالعه الصاقهای پایا است . اگر g یک گروه لی باشد که بر منیفلد m از بعد dim m>-2 عمل میکند و m منیفلدی که الصاق خطی بی تاب -gپایا بپذیرید×، نشان داده می شود که هر کلاس هم ارز تصویری -gپایا روی m شامل یک الصاق خطی بی تاب -gپایا می باشد. این تعمیمی است از یک نتیجه که بوسیله agaoka و podesta، برای حالتیکه m فضای همگن تضعیفی می باشد، نشان داده شده است .

در این رساله که در هفت فصل تنظیم شده است مطالب مورد بحث و بررسی عبارتند از: -1 استفاده از اپراتورهای td و iid در تعیین وجود جواب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی -2 تبدیلات فرم مختلط معادلات دیفرانسیل جزئی -3 معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی با شرایط مرزی -4 تعمیم مساله با مقدار مرزی هیلبرت (hilbert). یکی از اهداف اصلی آنالیز مختلط کاربردهای استاندارد و سیستماتیک در معادلات دیفرانسیل جزئی است که توسط اپراتورهای انتگرالی "نظریه برگمن" (bergman) و توابع تحلیلی تعمیم یافته "نظریه وکوآ" (i.n.velua) و روشهای آنالیز مختلط "توچکا" (w.tustschke) مورد استفاده قرار گرفته است . در این مجموعه ابتدا تعاریف مقدماتی و فضاهای تابعی در آنالیز مختلط بیان شده اند. سپس تبدیلات سیستمهای معادلات دیفرانسیل جزئی به فرمهای مختلط نرمال بررسی شده است . تعمیم معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی با شرایط مرزی که توسط "پروفسور عبدالسلام" (abdussalam) و "جیم ایلز" (j.ells) در سال 1988 در تریست ایتالیا و مرکز بین المللی فیزیک نظری و انرژی اتمی وینه استرالیا و سازمان فرهنگی علمی پاریس و توسط "توچکا" (w.tutschke) در دانشگاه مارتن لو در جمهوری دمکراتیک آلمان و توسط "پرفسور علی سیف می شیمبا" (a.mshimba) در دانشگاه دارالسلام تانزانیا مورد بررسی قرار داده اند طرح و وجود جواب آن و جوابهای با شرایط مرزی در فضای "سوبولف " مورد تجزیه و تحلیل قرار داده ایم.

موضوع این رساله درباره شرط لازم برای وجود فروبری های ایزومتریک مینیمال از فضای فرمهای کروی ناهمگن بتوی کره ها است . مقالات و کتابهای متعددی درباره فروبری های ایزومتریک مینیمال از فضای فرمهای کروی همگن بتوی کره ها را داریم ولی تاکنون مقاله یا نوشتاری درباره یک چنین فروبری های با دامنه فضای فرمهای ناهمگن وجود ندارد. در این نوشتار سعی می کنیم یک شرط لازم را برای وجود یک چنین فروبری هایی از یک درجه داده شده را ارائه دهیم و این شرط وابسته است تنها به درجه و گروه اساسی فضای فرم با توجه به یک تابع صریحا قابل محاسبه. محاسبه این تابع نشان می دهد که اگر درجه فروبری کوچکتر از 28 یا کوچکتر از 20 باشد آنگاه به ترتیب نه l(5,2) و نه l(8,3)یک چنین فروبری ایزومتریک مینیمال بتوی یک کره را می پذیرند.

این رساله در ارتباط با هندسه دیفرانسیل غیرخطی است ، نظریه ای که به جهت حل مسایل غیرخطی در هندسه دیفرانسیل ابداع شده است . این اثر از یک مقدمه، چهار فصل و چهار ضمیمه تشکیل شده است . در مقدمه، ضمن بیان تاریخچهء این موضوع و نیز پیشینهء تحقیقاتی آن، انگیزهء تحقیقات اخیر و نیز تبعات آن را کاملا روشن می کنیم. در فصل اول، اصول هندسهء دیفرانسیل غیرخطی را تشریح می نماییم. به این ترتیب که پس از مقدمه ای کامل فضای مماس مرتبه k ام را ابتدا بر rn و سپس بر یک منیفلد دلخواه تعریف نموده ایم. سپس ، به تعریف کلاف جت ها پرداخته ایم و آنگاه میدان برداری و براکت میدان های برداری را در این حالت تشریح نموده ایم. در آخر ضمن بیان مفهوم کنج از مرتبه بالا و کلاف این اشیاء، ترفیع به این کلاف را نیز بیان می نماییم. در فصل دوم، به معرفی یکی از اصولی ترین مفاهیم هندسه، یعنی ساختار هندسی می پردازیم. به این ترتیب که پس از مقدمه ای کامل، با معرفی مفاهیم کنج متحرک و یک اطلس از این کنج ها، مفهوم -g ساختار را به طبیعی ترین صورت خود بیان کرده ایم. سپس ، به ذکر شش مثال پرداخته ایم و در ادامه به تشریح ساختار گروه gp2n و در نتیجه اثبات طبیعت حاصل ضربی ساختارهای مرتبه دوم پرداخته ایم و آنگاه از این روش برای ارائه یک تجزیه از ساختار تصویری مفروض استفاده کرده ایم. در فصل سوم، به تعریف -k فضای مماس ، -k میدان برداری -g منظم و اثبات تناظر یک به یک میان -k میدان های برداری -g منظم و گروه های -g پارامتری از دیفئومورفیسم های موضعی می پردازیم. در این بین به مفهوم فانکتور -k مماس نیز پرداخته ایم. در فصل چهارم، به معرفی مسالهء هم ارزی و به عنوان کاربردی از مطالب فصول قبل می پردازیم. در اینجا ضمن بیان الگوریتم جذب سازگار با مقدار جبر لی، به ارائه یک مثال از روش فوق الذکر می پردازیم. یعنی، یک مساله کلاسیک که قبلا توسط الی کارتان برای حالت n2 حل شده است [20] را برای حالت n دلخواه حل می کنیم.

در این پایان نامه بوسیله انتقال بعضی از خواص منیفلدهای پواسن معمولی به کاتگوری سوپر منیفلدهای حقیقی (یا منیفلدهای مدرج حقیقی) یک چارچوب هندسی برای مطالعه ساختارهای سوپر-پواسن (یا پواسن مدرج) معرفی شده است . بنابراین یک دیدگاه از ساختار سوپر-پواسن در کاتگوری منیفلدهای مدرج حقیقی ارائه می گردد و تعدادی از خواص آن مورد بحث واقع می شود. همچنین مثالهایی از سوپر منیفلدهای پواسن داده شده است . در پایان نیز یک تعمیم از قضیه کاهشی پواسن-لی برای گروههای لی معمولی به سوپر گروههای لی استنتاج می گردد.

بررسی و شناخت هندسه سراسری و ساختارهای توپولوژیکی منیفلدها با انحنای محدود مناسب ، موضوع اصلی در هندسه ریمانی سراسری می باشد و با توجه به اینکه درک منیفلدها با انحنای مقطعی محدود آسانتر از منیلدها با انحنای ریسکی محدود می باشد، بدین ترتیب طبیعی است تا سعی شود نتایج و شیوه های بکار رفته شده در منیفلدها با انحنای مقطعی محدود نیز برای منیفلدها با انحنای ریسکی محدود نیز بکار گرفته شود. پس این پایان نامه در پی هموارسازی متریک های ریمانی با انحنای ریسکی محدود و شعاع مزدوج محدود به متریک ریمانی با انحنای مقطعی محدود می باشد و بطور کلی از شیوه نشاندن و شار ریسکی که دو شیوه بنیادین هموارسازی است در اینجا بکار گرفته شده است . در پایان با ارائه اثبات قضایا همراه با راه کارها و نتایج هر یک به ساختارهای منیفلد با انحنای ریسکی می پردازیم.

فرض کنیم f:mm-->rm+k یک ایمرشن باشد که کلاف قائمش دارای گروه هولونومی بدیهی باشد. یک زیر فضای از rk توصیف می شود که نقاطش با ایمرشنهای موازی با f تناظر یک به یک هستند. بویژه یک کران بالائی برای تعداد مولفه های همبند راهی داده می شود، سپس مثالهایی از این کران بالائی موجود، ارائه می شود. مسئله متناظر برای ایمرشن f:mm-->rm+1 درنظر گرفته می شود. پس یک میدان قائم موازی n:mm-->rm+1 وجود دارد و زیر فضای r را که درنظر می گیریم هست : {برای هر f(p)+tn(p),pemm یک نقطه کانونی f با پایه p نیست ter:}

در این پایان نامه هدف اصلی ما اثبات دو قضیه درباره تعداد قطعه ژئودزیک های بین دو نقطه روی منیفلدهای ریمانی با انحناء منفی و غیرمثبت می باشد. برای رسیدن به این هدف طی سه فصل مطالب را به شرح زیر تنظیم کرده ایم. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی را برای رسیدن به تعریف انحناء و انحناء مقطعی در یک منیفلد ریمانی آورده و در پایان جهت تعریف یک منیفلد همبند ساده، هموتوپی نگاشت ها و گروه اساسی را معرفی نموده ایم. در فصل دوم ابتدا ژئودزیک در یک منیفلد ریمانی و سپس منیفلدهایی که در آن بین هر دو نقطه اش ژئودزیکی وجود دارد را تعریف کرده ایم. همچنین نشان داده ایم شرایطی وجود دارد که تحت آن شرایط این ژئودزیک ها منحصر به فرد باشد.بعد از تعریف مجموعه ها و توابع محدب در منیفلدها، توجه خود را معطوف به منیفلدهای ریمانی با انحناء x<0 کرده و برای بررسی ژئودزیک ها در چنین منیفلدهایی، با ایجاد شرایط خاص روی منیفلدها، ژئودزیک ها را به نوعی با ژئودزیک های فضای شناخته شده هذلولوی مربوط نموده ایم. در فصل سوم بعد از اثبات دولم و قضیه مقدماتی ثابت کرده ایم که روی یک منیفلد ریمانی کامل از بعد n با انحناء مقطعی x<0، دو نقطه که ماکزیمم موضعی برای تابع فاصله (تابعی با دو مشخصه) باشد، توسط حداقل 2n+1 قطعه ژئودزیک به هم وصل می شود. در یک حالت ساده تر نشان داده ایم که اگر یکی از نقاط ثابت و x<0 باشد، آنگاه دو نقطه توسط حداقل n+1 قطعه ژئودزیک به هم وصل می شود. در اثبات از خواص محدب بودن تابع فاصله برای متریک های با انحناء منفی استفاده کرده ایم. در پایان نیز این احتمال را مطرح کردیم که با حذف بعضی مفروضات از دو قضیه اصلی پایان نامه، نتایج همچنان برقرار خواهد بود.

نتایج اصلی این پایان نامه عبارتند از: (i) فرض کنید :m-->n سابمرشن ریمانی غیربدیهی ژئودزیک تام از بعد یک روی منیفلد انیشتن n باشد. اگر m فشرده و ساختار انیشتین-ویل استاندارد با یک تابع انیشتین-ویل ثابت بپذیرند آنگاه m ساختار کهلر و m ساختار ساساکین می پذیرد. (ii) فرض کنید :m2n+1-->n2n یک سابمرشن ریمانی ریمانی با تارهای ژئودزیک تام و n منیفلد انیشتین با انحنای اسکالر مثبت بزرگتر یا مساوی 4n(n+1) باشد. اگر m ساختار ساساکین استاندار بپذیرد آنگاه m ساختار انیشتین-ویل با تابع انیشتین-ویل ثابت می پذیر

این پایان نامه در شش فصل تنظیم شده است: فصل اول ، کلافهای برداری. فصل دوم ، فرمهای دیفرانسیل روی منیفلد‏‎m‎‏ . فصل سوم ، ساختارهای سیمپلکتیک .فصل پنجم، شیف ساختاری و سوپرمنیفلد.فصل ششم، خارج قسمتهای طبیعی سوپرکلاف کتانژانت شکافته و ساختاری سوپر سیمپلکتیک روی آنها.

در این رساله‏‎‎‏، ابتدا، روش هم ارزی الی کارتان آمده و سپس یکی از مسائل هم ارزی حل شده است.

چنین به نظر می رسد که معادلات دیفرانسیلی معمولی مرتبه - اول، چه از نظر تئوری و چه از نظر کاربردی، تقریبا مورد توجه قرار نگرفته اند. اما در این پایان نامه، صرفا به معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه - اول و تقارنهای (مداری بینهایت کوچک) آنها پرداخته می شود.این پایان نامه، گردایه ای از نتایجی درباره کاربرد تقارنهای (مداری) بینهایت کوچک معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه - اول می باشد. بعضی از این نتایج کلاسیک هستند که تسط لی و بیانچی بیان شده اند، و تعدادی نتایج جدید به آن اضافه شده است.

این مقاله به خواص توپولوژیکی ضرب در یک گروه لی پوچ توان می پردازد، به طوری که اگر ‏‎g‎‏ یک گروه لی پوچ توان و به طور ساده همبند باشد و ‏‎k‎‏ و ‏‎h‎‏ زیرگوههای همبند و بسته ای از ‏‎g‎‏ باشند که فقط در یک عنصر خنثی مشترک باشند، نگاشت ضربی ‏‎h-->g‎‏*‏‎k‎‏ یک نگاشت سره می باشد.همچنین عمل ‏‎h‎‏*‏‎k‎‏ بر ‏‎g‎‏ را به صورت ‏‎g. (k,h)=k gh‎‏ در نظر گرفته و تحت فرضیات مشخصی، نشان می دهیم که این عمل سره است اگر و تنها اگر آزاد باشد. در انتها از سره بودن و یا آزاد بودن عمل ‏‎h‎‏*‏‎k‎‏ بر ‏‎g‎‏، ثابت می شود که ‏‎kg/h‎‏ که یک منیفلد دو خارج قسمتی و قابل انقباض است، دیفئومورف با ‏‎r‎‏ است که ‏‎d‎‏ بعد ‏‎kg/h‎‏ می باشد.