فرض کنید s یک p-گروه متناهی باشد ، زیرگروه آبلی a در s را یک زیرگروه آبلی بزرگ s گوییم، اگر برای هر زیرگروه آبلی b در s ، مرتبه a از مرتبه b بزرگتر یا مساوی باشد. زیرگروه a در s را به طور مرکزی بزرگ گوییم، اگر برای هر زیرگروه b در s مرتبه a در مرتبه مرکزش بزرگتر مساوی مرتبه b در مرتبه مرکزش باشد. مطالعه روی زیرگروههای آبلی بزرگ در سال 1964 با قضیه p-متمم نرمال دوم تامپسون آغاز گردید،که زیرگروههای به طور مرکزی دارای خواص مشابهی هستند. در سال 1989 سرمک و دلگادو ، چند خانواده از زیرگروههای شامل زیرگروههای به طور مرکزی بزرگ را به عنوان حالت خاص، مورد مطالعه قرار دادند. سرمک و دلگادو مفهوم بحث شمردن برای گروههای متناهی را به بحث اندازه برای گروه متناهی ، که روی گروه متناهی عمل می کند، تعمیم دادند. آنها بالاخره به نتایج قابل توجه و کاربردهای بسیار قوی در این زمینه دست یافتند. سرمک و دلگادو نشان دادند، که برای هر دو زیرگروه به طور مرکزی بزرگ a و b در s ، اشتراک آنها و ab یک زیرگروه به طور مرکزی بزرگ در s است. لذا s شامل یک زیرگروه به طور مرکزی بزرگ ماکسیمال منحصر به فردی است، که آنرا s cl می نامیم. در این پایان نامه، کار آنها را گسترش می دهیم، تا به نتایج بهتر و کاربردهای قویتری برسیم. همچنین کاربردهای زیرگروه تامپسون،در p-گروه متناهی s، را بدست خواهیم آورد. نشان می دهیم که برای هر زیرگروه به طور مرکزی بزرگ a در s و هر زیرگروه آبلی بزرگ b در s ، داریم اشتراک آنها و ab یک زیرگروه به طور مرکزی بزرگ در s است. بنابراین زیرگروه تامپسون بزرگتر مساوی s است و این به ما کمک می کند با محاسبه ای کوتاه نشان دهیم که زیرگروه تامپسون بزرگتر اکید از s است .به وسیله قضیه های قوی ایتو و تامپسون و قضیه 5-8 نشان می دهیم، که یک زیرگروه به طور مرکزی بزرگ مینیمال در s موجود است، که به وسیله زیرگروه تامپسون و هر زیرگروه نرمال s از رده پوچتوانی حداکثر p-1 نرمال می شود.